Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 23 дифференциальное исчисление, теорема Коши, неопределённости XXIII
.docЛекция 23
23.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема 23.1 (Ферма).
Пусть функция
определена на интервале
и в некоторой точке
этого интервала имеет наибольшее или
наименьшее значение. Тогда, если в точке
существует производная, то она равна
нулю, то есть
.
Доказательство.
Пусть для
определенности функция
принимает наибольшее значение в точке
,
т.е.
,
.
Тогда
.
Так как производная
в точке
существует, то
.
Геометрический смысл.
Касательная к
графику параллельна оси
.
Замечание 1.
Если функцию
рассматривать на отрезке
,
то теорема не верна.
П
ример
23.1.
П
x
.
В точке
функция принимает
наименьшее значение,
в точке
– наибольшее значение.
.
Теорема 23.2 (Ролля).
Пусть функция
определена на отрезке
и
1) функция
непрерывна на отрезке
;
2) функция
дифференцируема на интервале
;
3) функция
.
Тогда
.
Доказательство.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
.
Тогда
и
(по теореме Вейерштрасса).
Таким образом:
.
1) Если
,
то
.
2)
.
Следовательно,
поскольку
,
то либо наибольшее, либо наименьшее
значение достигается внутри интервала.
Т.к. функция
дифференцируема,
то
(т. Ферма).
Геометрический смысл.
Касательная
параллельна оси
внутри интервала
.
Теорема 23.3 (Лагранжа).
Пусть функция
определена на отрезке
и
1) функция
непрерывна на отрезке
;
2) функция
дифференцируема на интервале
.
Тогда
. (23.1)
Замечание 2.
Формула (23.1) – формула Лагранжа или формула конечных приращений.
Геометрический смысл.
– угловой коэффициент
секущей
.
(касательная
параллельна секущей).
Таких точек может быть несколько, по крайней мере, одна всегда существует.
Замечание 3.
Т.к.
,
то
,
то есть
(23.
)
Замечание 4.
Если
,
то
,
(23.
)
где
Формула (23.
)
описывает приращение функции через
произвольное приращение аргумента.
Теорема 23.4 (Коши).
Пусть функции
и
непрерывны на отрезке
,
дифференцируемы на интервале
.
Тогда
. (23.2)
(23.2) – формула Коши или обобщенная формула конечных приращений.
Замечание 5.
Формула (23.2) верна и для
.
Замечание 6.Если
положить
,
то получим формулу Лагранжа (частный
случай формулы Коши).
7.2. Раскрытие неопределенностей
а) Раскрытие
неопределенностей вида
Теорема 23.5 (первое правило Лопиталя).
Пусть функции
и
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки
,
за исключением, может быть, самой точки
.
Пусть
в окрестности точки
.
Тогда, если
существует
(конечный или бесконечный), то и
существует
,
причем справедлива формула:
. (23.3)
Доказательство.
Пусть
– произвольная последовательность
и
.
Доопределим функции
и
в точке
,
.
Тогда
и
непрерывны на отрезке
,
дифференцируемы на интервале
и по условию
.
По теореме Коши
на интервале
,
то есть:
.
Рассмотрим предел
при
.
Тогда
.
Т.к. существует предел справа, то и
существует предел слева и:
.
Т.к.
– произвольная последовательность, то
.
Замечание 7. Правило Лопиталя – это правило сравнения скоростей.
Замечание 8.
При необходимости правило Лопиталя применяется несколько раз.
Замечание 9.
Теорема остается верной при
.
Доказательство.
.
Пример 23.2.
Найти предел
.
.
б) Раскрытие
неопределенностей вида
Теорема 23.6 (второе правило Лопиталя).
Пусть функции
и
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки
,
за исключением, может быть, самой точки
.
Пусть
в окрестности точки
и существует предел
(конечный или бесконечный), тогда
существует предел
. (23.3’)
Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.5 (доказать самостоятельно).
Пример 23.3.
Найти предел
.
.
Пример 23.4.
При вычислении
предела
правило
Лопиталя применить нельзя, поскольку
предел
не
существует.
в) Раскрытие неопределенностей других видов
Часто встречаются неопределенности следующих видов:
.
Все они сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований.
Рассмотрим некоторые из них.
Пример 23.5.
1)
,
где
т.е.
имеем
.
Можно записать:
т.е. рассматривать предел:
.
2)
,
то есть имеем
.
3)
, где
,
то есть имеем
.
Пример 23.6.
Найти предел
.
.