Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 8 Основные понятия о векторах
.docЛекция 8
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ТЕМА: Основные понятия
Обозначение:
множество точек прямой -
,
плоскости -
,
пространства -
.
Пусть точки
,
причем точки – упорядоченные: например,
А – первая,
В – вторая.
Рассмотрим
отрезок прямой, расположенный между
этими точками.
Определение 8.1
Отрезок АВ называется направленным, или вектором если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.
Замечание 1.
А). Если начало и
конец вектора совпадают, то вектор
называется нулевым и обозначается
.
Б). Длиной (модулем
)
направленного отрезка
называется длина
отрезка АВ.
Определение 8.2
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Замечание 2. Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору, так как не имеет направления и его длина равна нулю.
Определение 8.3
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, сонаправлены и равны по длине.
Из определения
8.3 следует, что если задан вектор
и точка
,
то можно построить единственный вектор
,
равный
.
Другими словами, вектор
можно перенести в точку
.
Определение 8.4
Пусть даны вектора
:
.
Тогда вектор
называется суммой векторов
Обозначение:
.
Правила сложения
а) правило треугольника б) правило параллелограмма
Определение 8. 5
Произведением
вектора
на число
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
-
векторы
и
сонаправлены, если
и
противоположно
направлены, если
;
-
.
Обозначение:
.
Замечание 3. Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор.
.
Это значит, что для любого вектора имеют место быть свойства, идентичные восьми аксиомам векторного пространства, причем свойства 1 - 5 очевидны.
Свойства 6 и 8 проверяются перебором различных вариантов. А свойство 7 следует из теоремы Фалеса:
Е
сли
направленные прямые отсекают одинаковые
отрезки на одной стороне угла, то они
отсекают одинаковые отрезки на другой
его стороне.
Базис векторов
Теорема 8.1
1)Вектор
линейно зависим тогда и только тогда,
когда он равен нулю.
2) Векторы
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они коллинеарны.
3) Векторы
линейно
зависимы тогда и только тогда, когда
они компланарны.
4) Любые четыре вектора линейно зависимы.
Следствия.
1). В нулевом пространстве базиса не существует.
2). В
базис состоит из одного ненулевого
вектора.
3). В
базис образует упорядоченная пара
неколлинеарных векторов
4). В
базис – упорядоченная тройка
некомпланарных векторов.
Замечание 4.
Требование
упорядоченности означает, что, например
в
,
и
- разные базисы.
Проекция вектора на ось
Определение 8.6
Осью
назовем прямую, по которой задано
направление. Направление оси задается
вектором
(направляющий вектор оси), который
является масштабным вектором и обычно
берется единичным.
Определение 8.7
Проекцией точки
на ось
называется точка
,
получаемая в пересечении
с плоскостью
,
перпендикулярной
и проходящей через точку
.
Определение 8.8
Проекцией вектора
на ось
называется вектор
,
где точки
и
- проекции точек
и
соответственно.
=
(8.1)
Замечание 5.
Пусть
=
,
тогда:
,
если
,
,
если
.
Свойства проекции
1) Проекция
вектора
на ось
равна произведению длины вектора
на косинус угла между вектором и осью:
.
(8.2)
Доказательство
L L
-
проекция вектора
на ось L,
причем на рисунке (а)
,
на рисунке (б)
.
Действительно,
пусть
.
Если
(см. рис. (а)), то
,
поэтому
.
Если
(см. рис. (б)), то
,
и
.
2) Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:
.
(8.3)
Действительно, это очевидно из следующих рисунков:
3) Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции этого вектора на то же число.
.
(8.4)
Доказательство
а) Пусть
,
тогда,
б) Пусть
,
тогда,
.