Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 6 Понятие векторного (линейного) пространства

Лекция 6

ТЕМА: Понятие векторного (линейного) пространства

Определение 6.1

Упорядоченная система чисел , называется -мерным вектором. Каждое число называется -той координатой (или компонентой) вектора .

Примеры векторов:

а) векторы-отрезки, выходящие из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве;

б) коэффициенты любого линейного уравнения с неизвестными составляют -мерный вектор;

в) если дана матрица из строк и столбцов, то ее столбцы будут -мерными, а столбцы -мерными векторами.

Понятие линейного (многомерного векторного) пространства является одним из основных в современной математике.

Пусть, -некоторое множество, - элементы , , причем,

1)

2)

Потребуем, чтобы эти операции удовлетворяли следующим аксиомам:

аксиомы линейного пространства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Определение 6.2

Множество элементов , в котором определены операции сложения и умножения элемента на число, удовлетворяющие аксиомам (1-8), называется линейным (векторным) пространством.

Элементы множества называют векторами.

Определение 6.3

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Определение 6.4

Вектора называются линейно зависимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. (6.1).

Если , то вектора называются

линейно независимыми.

Из данного определения вытекают следующие утверждения:

1) Если среди векторов есть нуль-вектор, то они линейно зависимы.

Доказательство

Пусть, например, , тогда, , так как не все равны нулю, выполняется равенство (6.1).

2) Если часть векторов линейно зависима, то и все вектора линейно зависимы.

Доказательство

Пусть .

Среди есть неравные нулю, то есть выполняется тождество (6.1) и для всех векторов.

3) Теорема 6.1

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех других.

Доказательство

линейно зависимы, то есть выполняется равенство (6.1).

Пусть , тогда - линейная комбинация.

Пусть - линейная комбинация, тогда , то есть выполняется равенство (6.1), а это значит, что вектора линейно зависимы.

Базис линейного пространства

Определение 6.5

Совокупность векторов называют базисом в , если:

1. вектора – линейно независимы;

2. для найдутся , такие, что . (6.2)

При этом равенство (6.2) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .

Пример 6.1

Пусть . Показать, что вектора линейно независимы.

,

,

то есть данные вектора линейно независимы.

Добавим к этой системе векторов еще один вектор: .

Легко убедиться, что - линейная комбинация,

т.е. - линейно зависимые вектора.

Теорема 6.2 (о единственности разложения по базису).

Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. .

Координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство.

Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости .

Теорема 6.3 (операции над векторами, заданными своими координатами).

При сложении любых двух векторов , их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются.

При умножении на все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство.

Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.

Определение 6.6

Линейное пространство называется n–мерным, если

1. В нем существуют n линейно независимых векторов.

2. Любой -й вектор линейно зависим.

Если задана система векторов

,

где , , а координаты заданы в одном и том же базисе,

то - матрица системы векторов, где в -м столбце стоят координаты вектора .

Теорема 6.4

Для того, чтобы векторов -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен .

Следствие 1

линейно независимы тогда и только тогда, когда для данных векторов .

Следствие 2

Если ранг матрицы системы векторов линейного пространства равен , то максимальное число линейно независимых векторов этой системы также равно .

Пример 6.2

, , .

, таким образом, векторы - линейно зависимы.

.

4