Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 22 Производная функции

Лекция 22

22.1. Производная сложной функции

Теорема 22..1.

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке и имеет место формула:

или или . (22.1)

Замечание 1. Если , то , где ,

, - дифференцируемые функции своих аргументов.

Пример 22.1.

Вычислить производную сложной функции .

,

, , тогда

.

22.2. Дифференциал сложной функции

По определению, (*).

Если , , т.е., то

.

Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.

Это свойство называется

инвариантностью формы первого дифференциала.

22.3. Производная обратной функции

Теорема 22.2.

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция имеет производную в точке , причем: . (22.2)

Доказательство.

Из существования и непрерывности функции следует, что обратная функция существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно

.

Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).

Геометрический смысл производной обратной функции

Рассмотрим в окрестности точки график функции . Известно, .

Тогда если , или ,

то - угол наклона касательной к оси .

Поскольку , то

.

Пример 22.2.

Вычислить производную функции .

.

В формуле взят знак «+»

т.к. при .

Пример 22.3.

Вычислить производную функции .

.

.

В частности, при имеем .

22.4. Производная функции, заданной неявно

Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Пример 22.4.

Вычислить производную функции в точке .

, .

22.5. Производная степенно показательной функции (логарифмическая производная)

Алгоритм вычисления производной

Пусть задана функция .

1) прологарифмируем функцию:

2) продифференцируем функцию:

3) выразим из полученного уравнения :

(22.3)

Пример 22.5.

С помощью логарифмического дифференцирования найти производную функции: .

(Ответ: ).

Замечание 2.

С помощью логарифмической производной можно находить производную сложной функции, которую можно дифференцировать.

Пример 22.6.

Вычислить производную функции .

.

22.6. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть .

Если функция монотонна и непрерывна, то

(22.4)

Пусть функции дифференцируемы и .

(22.5)

Пример 22.7.

Вычислить производную функции, заданной параметрически:

(уравнение эллипса).

.

22.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 22.1.

Второй производной (или производной второго порядка) функции называется производная от ее первой производной.

Обозначение: (22.6)

Механический смысл.

Функция равна ускорению движущейся точки в момент времени .

Аналогично определяются 3-я, 4-я и т.д. производные:

(22.7)

а). Если - независимая переменная, то , т.к. не зависит от

Определение 22.2.

Вторым дифференциалом от функции называется дифференциал от первого дифференциала:

(22.8)

Тогда (22.9)

– формула n-го дифференциала функции .

б). Если , то есть , тогда, поскольку , то

Здесь (**).

Замечание 2. если .

Таким образом, свойство инвариантности не выполняется.

5