Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 24 Исследование функции, графики

Лекция 24

ТЕМА Исследование поведения функций одной переменной

и построение графиков

1. Признак монотонности функций

Теорема 24.1.

Если функция дифференцируема на интервале и на то функция не убывает (не возрастает) на.

Доказательство.

Пусть и , причем .

Тогда на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа:

.

Замечание 1. Теорема верна и для строго монотонных функций .

2. Отыскание локального экстремума

Определение 24.1.

Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если:

, ().

Замечание 2. Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума.

Теорема 24.2 (необходимое условие локального экстремума).

Если функция дифференцируема в точке , и в ней имеет локальный экстремум, то .

Доказательство.

Так как функция в точке имеет локальный экстремум, то существует , в которой функция является наибольшим или наименьшим значением среди всех других значений этой функции.

Тогда по теореме Ферма .

(Обратное утверждение в общем случае не верно!)

Геометрический смысл.

В точках локального экстремума касательная параллельна оси OX .

Замечание 3. Точки, где называются стационарными точками, или точками возможного экстремума.

Пример 24.1.

Пусть задана функция .

Пусть ,.

Следовательно, - стационарная точка, не является точкой локального экстремума.

Теорема 24.3 (I достаточное условие локального экстремума).

Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки . Тогда, если , при , а при , то в точке функция имеет локальный максимум (локальный минимум).

Если же во всей -окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.

Доказательство.

Пусть , причем для и для .

Тогда по теореме 24.1 функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке , то есть . Это означает, что - точка максимума.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Пример 24.2.

,

.

- стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума.

Замечание 4.

В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет в ней знак. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной).

Теорема 24.4 (2-е достаточное условие экстремума).

Пусть функция имеет в точке (точке возможного экстремума) конечную вторую производную. Тогда функция имеет в точке максимум, если и минимум, если .

Пример 24.3.

.

, .

- точка максимума, - точка минимума.

- стационарные точки.

3. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции

Определение 24.2.

Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке в точке .

Теорема 24.5.

Непрерывная функция принимает наибольшее (наименьшее) значение либо на концах интервала, либо в стационарных точках, либо в точках, где производная не существует.

Пример 24.4.

Найти наименьшую длину забора , с помощью которого можно огородить участок в форме прямоугольника площадью , примыкающий к стене.

Решение

X

X

. , .

4. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба

Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует касательная в любой точке этого интервала.

Определение 24.3.

Будем говорить, что функция f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если график функции расположен не выше (не ниже) касательной к нему на (a, b).

выпукла вниз

Теорема 24.6.

Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и во всех точках интервала (a, b), то график функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Пример 24.5. (см. пример 24.3.).

, .

Определение 24.4.

Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке M график имеет касательную и существует окрестность точки, в пределах которой график y=f(x) слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

Теорема 24.7. (необходимое условие точки перегиба).

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и пусть функция y=f(x) имеет в точке непрерывную производную.

Тогда .

Теорема 24.8 (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности имеет разные знаки,

то - точка перегиба.

Пример 24.6.

а) Для функции из примера 24.3.:

.

б)

0

+

+

не является

точкой перегиба

5. Асимптоты графика функции.

Определение 24.5.

Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки, принадлежащей графику до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по графику функции от начала координат.

Существуют три типа асимптот:

вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 24.6.

Прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений

или равно .

Пример.24.7.

- вертикальная асимптота.

Определение 5.12.

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если функция f(x) представима в виде:

где .

Теорема 5.21.

Для того, чтобы график функции y=f(x) имел при наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения:

, . (24.1)

Замечание 5.

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая .

Пример. 24.8.

График функции имеет наклонную асимптоту при и вертикальную асимптоту

Схема исследования графика функции

1. Найти область определения функции, ее точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Найти точки пересечения с осями.

4. Найти стационарные точки.

5. Найти точки подозрительные на перегиб.

6. Исследовать на существование точек, в которых первая или вторая производная не существует, то есть критических точек.

7. Исследовать знак первой и второй производной. Определить участки возрастания и убывания функции, направления выпуклости, точки экстремума и перегиба.

6