Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 21 Производная функции

Лекция 21

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

21.1. Производная функции

Пусть функция определена на множестве , .

Определение 21.1

Производной функции в точке называют ,

если он существует и конечен.

Замечание 1. Если , то говорят, что функция имеет бесконечную производную знака «+» или «–».

Обозначения: .

Пример 21.1.

Найти производную функции .

.

Пример 21.2.

Найти производную функции .

.

.

Определение 21.2.

– правосторонняя производная;

– левосторонняяпроизводная.

Теорема 21.1.

Функция имеет производную в точке , тогда и только тогда, когда существуют левые и правые производные и они равны.

Замечание 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

21.2. Дифференциал функции

Определение 21.3.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

, (21.1)

где , – бесконечно малая функция.

Замечание 3. В формуле (21.1) (читают: А от ) – главная линейная относительно часть приращения называется дифференциалом функции в точке и обозначается или :

(21.2)

Таким образом, . Если обозначить , то

. (21.3)

Теорема 21.2.

Для того чтобы функция была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема 21.3.

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание 4. Обратное утверждение неверно!

Обозначение: .

Итак, или

. (21.4)

21.3. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция определена на интервале , причем точки , принадлежат графику функции, тогда, МР – секущая.

.

Если существует предел, то прямую с угловым коэффициентом называют предельным положением секущей MP при (или касательной) (MS). (То есть ).

Из .

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

– уравнение касательной.

Физический смысл производной.

Пусть – закон движения точки; тогда за время будет пройден путь . За время : .

Если , , то – средняя скорость за время .

Таким образом, – мгновенная скорость точки в момент времени .

Геометрический смысл дифференциала.

, .

Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

Физический смысл дифференциала.

Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то равен расстоянию, которое прошла бы точка за ,

если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент .

21.4. Использование дифференциала для приближенных вычислений

, то есть дифференциал по определению есть главная часть приращения функции .

, (21.5)

где при .

Следовательно или

, где (21.5’)

Пример 21.3.

Пусть , где , Вычислить .

.

Итак, .

Замечание 5. В практическом вычислении производных обычно пишут не , а просто , но при этом считают фиксированным.

21.5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

Теорема 21.4.

Если функции и дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (если ) также дифференцируемы в этой точке и справедливы следующие формулы:

1) ; (21.6)

2); (21.7)

3) . (21.8)

Доказательство.

Докажем первую формулу. Пусть задано приращение аргумента в точке и соответствующее приращение функции:

, .

.

Формулы (21.7) и (21.8) доказываются аналогично

(доказать самостоятельно).

Следствие.

Пусть функция имеет производную в точке. Тогда функция

(где ) также имеет в этой точке производную и

, (21.9)

то есть постоянная величина выносится за знак производной.

Замечание 6. Аналогичная формула для дифференциала.

5