Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 28 Дифф. высших порядков

Лекция 28

28.1. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Определение 28.1.

Частные производные по переменным и в точке от функций и в точке М, если они существуют, называются

частными производными второго порядка от функции .

Обозначение.

– смешанные частные производные.

Пример 28.1.

Найти частные производные функции .

Решение.

.

Теорема 28.1.

Если функции и существуют в и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой:

(28.1).

Определение 28.2.

– дифференциал первого порядка

– дифференциал второго порядка.

Тогда

– дифференциал n-го порядка

28.2. Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция определена в окрестности точки

Определение 28.3.

Функция имеет в точки локальный максимум (минимум), если существует : из окрестности выполняется неравенство:

()

Таким образом, в окрестности точки :

локальный минимум,

локальный максимум.

Теорема 28.2 (необходимое условие экстремума).

Если функция имеет в точке экстремум и частные производные первого порядка, то выполняется равенство:

(28.2).

Точки, в которых выполняется равенство (28.2) называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.

Теорема 28.3 (достаточное условие экстремума).

Пусть в точке возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция имеет непрерывные частные производные второго порядка.

Положим

Тогда: а) если , то в точке экстремум: ;

б) если , нет экстремума;

в) если , требуется дополнительное исследование.

Пример 28.2.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

, , - (минимум)

Найдем точки минимума.

По теореме 28.2. , т.е. , x=1/3, y=4/3

Итак, в точке функция имеет минимум.

28.3. Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Чтобы вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области, поступают следующим образом:

1. находят все максимальные и минимальные значения функции, достигаемые в данной области;

2. находят наибольшие и наименьшие значения функции на границе области.

3. сравнивают найденные значения.

Пример 28.3.

Найти наибольшее значение функции в замкнутой области, ограниченной линиями: , , .

Решение.

1) , (min) .

2) , , => y=1/3.

z(0)= 2, z(1/3)=1/3-2/3+2=4/3; z(1)=3.

при x=0, z=3(наибольшее).

3) , аналогично при y=0, z=3 (наибольшее);

4) x+y=1; 12y-6=0 y=1/2

z(0)=3, z(1)=3, z(1/2)=3/2

Итак, наибольшее значение: 3 при y=0 или y=1.

4