Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 17 Предел последовательности
.docЛекция 17
17.1. Ограниченные и неограниченные множества
Пусть X – числовое множество.
Определение 17.1.
А). Множество X ограниченно снизу тогда и только тогда, когда
.
В). Множество X
ограниченно
сверху
тогда и только тогда, когда
.
С). Множество X ограниченно тогда и только тогда, когда X ограниченно сверху и снизу:
т.е.
.
Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних граней).
Естественно возникает вопрос о существовании наименьшей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества.
Определение 17.2.
А). Число M называется точной верхней гранью, если оно является наименьшим из всех верхних граней.
Б). Число m называется точной нижней гранью, если оно является наибольшим из всех нижних граней.
Пример17.1
Для множества
указать точную верхнюю и точную нижнюю
грани.
(Ответ:
;
).
Теорема17.1.
Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство
Пусть X – непустое множество, ограниченное сверху. Тогда существует множество Y чисел, ограничивающих множество Х сверху.
Из определения
следует:
.
Причем,
,
тогда т.к.
- с- верхняя грань,
наименьшая из
верхних граней, следовательно
.
Случай существования точной нижней грани рассматривается аналогично.
§2 Предел числовой последовательности
Пусть каждому
по
некоторому закону поставлено в
соответствие действительное число xn.
Тогда говорят,
что определена последовательность
чисел x1,x2,…,xn
или {xn}.
Число xn –элемент последовательности.
Пример 17.2.
1)
;
2)
.
Если xn=const, то последовательность называется постоянной.
Последовательность
{xn}
ограничена,
если
.
Определение 17.3.
Число а называется
пределом
числовой последовательности {xn},
если для любого положительного числа
ε существует номер N
такой, что при всех n>N
выполняется неравенство
.
Обозначение:
или
.
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая его – расходящейся.
Пример 17.3.
Определить предел
последовательности
.
(Ответ:
.)
Геометрический смысл предела числовой последовательности
Число a
– предел последовательности xn,
если в любую окрестность числа а, начиная
с некоторого номера попадают все члены
последовательности
.
Пример 17.4.
Показать, что
последовательность
не имеет предела. Действительно, пусть
а – предел
xn..
Выберем интервал
с длиной
.
Расстояние между -1 и 1 равно 2 и,
следовательно, они оба не могут попадать
в этот интервал.
Основные свойства сходящихся последовательностей
Теорема 17.2.
Если последовательность {xn} имеет предел, то он единственный.
Доказательство
Пусть {xn}
имеет два
предела a
и
b.
Накроем их интервалами(c,d)
и
(e,f)
(т.е.
)
Т.к. a=lim
xn
, то все
элементы {xn}
начиная с некоторого номера лежат в
(c,d)
и
значит это противоречит тому, что b
– предел.
Теорема 17.3.
Если последовательность {xn} сходится, то она ограничена.
Доказательство
Пусть
.
Зададим
.
Тогда
:
.
Известно, что
,
поэтому
<1
.
Пусть
,
тогда очевидно,
что
.
17.2. Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел
Замечание 1.
Пусть
,
тогда
- бесконечно малая последовательность.
Действительно,
.
Это значит, что
любой элемент последовательности {xn},
имеющей
пределом число
,
можно представить в виде:
(17.1).
Замечание 2.
Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 3.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 4.
Так как
,
то
.
Теорема 17.4.
Если существуют
конечные пределы последовательностей
и
,
то справедливы равенства:
1)
(17.2)
2)
(17.3)
3)
если
(17.4).
Доказательство
Идея доказательства построена на неравенстве:
.
Пусть
,
.
Тогда согласно равенству (17.1):
1)
- бесконечно малая последовательность
(согласно 17.1);
2)
(бесконечно малая последовательность);
3)
(бесконечно малая последовательность).
17.3. Монотонные последовательности
Определение 17.4.
1)Последовательность
{xn}
называется возрастающей,
если
.
2) Последовательность
{xn}
называется неубывающей,
если
.
3) Последовательность
{xn}
называется убывающей,
если
.
4) Последовательность
{xn}
называется невозрастающей,
если
.
Все такие последовательности объединяются общим названием - монотонные последовательности.
Пример 17.5.
Определить виды последовательностей:
-
1; 1/2; 1/3; …(убывающая, ограниченная);
-
1; 1; ½; ½; 1/3; 1/3; …(невозрастающая, ограниченная);
-
1; 2; 3; …;n;…(возрастающая, неограниченная);
-
1; 1; 2; 2; 3; 3; …;n; n;…(неубывающая, неограниченная);
-
½; 2/3; ¾; …; n/(n+1);…( возрастающая, ограниченная).
Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны.
Теорема 17.5.
Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т.е. просто ограничена, то она сходится.
Замечание 5.
Из теорем 17.3 и 17.5 следует, что ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости.