Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 27 Неявные функции

Лекция 27

27.1. Неявные функции, условие их существования.

Дифференцируемость неявных функций

27.1.1. Неявная функция одного переменного: (*)

Уравнение не всегда является функцией.

Определим условия, когда уравнение (*) определяет переменную как функцию другой переменной.

Теорема 27.1 (о существовании неявной функции).

Пусть функция непрерывна вместе с частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (*) в окрестности точки имеет единственное непрерывное решение , где непрерывно дифференцируема.

Пример 27.1.

. т.е. существует функция

27.1.2. Неявная функция двух переменных: (**)

Теорема 27.2.

Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (**) в окрестности точки имеет единственное решение , где имеет непрерывные частные производные.

27.1.3. Дифференцируемость неявных функций

Если выполнены условия существования неявной функции, т.е.

существует функция , то (*) имеет вид: .

Тогда, дифференцируя как сложную функцию, имеем:

.

Пример 27.2.

1)

2)

.

27.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Геометрический смысл производных и дифференциала.

Определение 27.1.

Плоскость, проходящая через точку поверхности, называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если угол между секущей, проходящей через точку и любой точкой этой плоскости стремится к нулю, когда .

Если дифференцируема в точке , то

(27.1)

– уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

В этом случае – нормальный вектор касательной плоскости называют нормалью к поверхности и точке , где .

Геометрический смысл.

– угловой коэффициент касательной в точке к сечению поверхности плоскостью .

Частный дифференциал – приращение аппликаты касательной плоскости.

27.3. Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция определена в окрестности точки . Из точки построим - произвольный единичный вектор (орт). Для характеристики скорости изменения функции в точке в направлении введем понятие производной по направлению.

Через вектор проведем прямую .

Выберем точку в направлении вектора . Тогда .

В этом случае:

.

Определение 27.2.

Если существует предел , то он называется производной по направлению функции в точке по направлению и обозначается :

(27.2)

Пусть функция дифференцируема, тогда

.

Здесь ,

Разделив обе части равенства на , и учитывая, что

,

перейдем к пределу при :

(27.3)

Пример 27.3.

Вычислить производную функции в точке по направлению вектора , где .

, т.е. .

.

Определение 27.3.

Градиентом функции в точке называется вектор, компоненты которого равны и , взятые в точке .

Обозначение:

(27.4)

Т.к. , то

(27.5)

С другой стороны:

Т.е. (27.6)

Следовательно, максимально при (), т.е.

.

Таким образом, градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

5