Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 14 Прямая и плоскость в пространстве

Лекция 14

ТЕМА: Поверхности и линии в пространстве

Определение 14.1.

Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.

Здесь – некоторая зависимость между переменными.

Пример 14.1.

– уравнение сферы ().

1⁰ Уравнение линии в пространстве

Определение 14.2.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями:

.

Пример 14.2.

.

Линия, как пересечение поверхностей, определяет окружность, лежащую в плоскости ().

2⁰ Общее уравнение плоскости

2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Дано: , – нормальный вектор, .

Написать уравнение плоскости.

Выберем произвольную точку ,

тогда , , т.е.

(14.1)

– уравнение плоскости.

2.2. Общее уравнение плоскости

Из уравнения (14.1) с помощью элементарных преобразований получим: или

(14.2)

– общее уравнение плоскости.

Очевидно, что общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно трех переменных и определяет поверхность первого порядка.

Проведем исследование (положение плоскости в частных случаях).

А). , .

Т.к. координаты точки - удовлетворяют данному уравнению, плоскость проходит через начало координат.

Б). , , , значит , следовательно .

Аналогично, если , ; , .

В). При , . Плоскость проходит через ось .

Аналогично, при – плоскость проходит через ось ;

при – плоскость проходит через ось .

Г). , . Данное уравнение определяет плоскость, параллельную , т.к. , , .

Аналогично, , ; , .

Д). , ().

Аналогично, , (); , ().

2.3.Уравнение плоскости в отрезках

, , .

(14.3)

.

– уравнение плоскости в отрезках.

4. Уравнение плоскости по трем точкам

Пусть .

Выберем произвольную точку . Тогда , ,.

Т.к. векторы лежат в одной плоскости, они компланарны, следовательно их смешанное произведение равно нулю:

(14.4)

.

– уравнение плоскости по трем точкам.

4. Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости строиться по аналогии с нормальным уравнением прямой и имеет вид:

. (14.5)

3⁰ Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Пусть - нормальный вектор для плоскости .

Утверждение 14.1.

Вектор параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда

. (14.6)

Утверждение 14.2.

Плоскость , заданная уравнением и плоскость , заданная уравнением параллельны тогда и только тогда, когда

. (14.7)

Доказательство.

Действительно, , если и коллинеарны, т.е. , , , т.е. . Верно и обратное.

Утверждение 14.3.

Плоскости и совпадают тогда и только тогда, когда

. (14.8)

Утверждение 14.4.

Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда и неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.

Утверждение 14.5.

Пусть плоскости и пересекаются по прямой, тогда плоскость проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:

, где одновременно. (14.9)

4⁰ Уравнение прямой в пространстве

Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то (14.10), причем (14.11).

Система уравнений (14.10) с условием (14.11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:

(14.12)

,

где – частное решение (14.10), – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.

Геометрически (14.12) означает:

Пусть точка . Любая точка получается прибавлением к радиус-вектору точки некоторого вектора, коллинеарного - направляющего вектора прямой.

Уравнение (14.12) можно переписать в виде или

, (14.13)

– векторно-параметрическое уравнение прямой или

(14.14)

– параметрические уравнения прямой в пространстве.

Исключая параметр , получим:

(14.15)

– канонические уравнения прямой в пространстве.

Здесь равенства (14.15) следует воспринимать как пропорцию.

Пример 14.3.

Пусть прямая задана каноническими уравнениями (*).

Тогда уравнения (*) равносильны системе: , .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и , то – направляющий вектор, тогда

(14.16)

– уравнение , проходящей через 2 точки.

Утверждение 14.6.

Если прямая , задана как пересечение двух плоскостей системой (14.10), то вектор (14.17)

– является направляющим вектором , т.е. .

5⁰ Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть ; .

и либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

. В случае если или пересекаются, существует плоскость, которой прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие:

. (14.18)

Утверждение 14.7.

Прямые и скрещиваются тогда и только тогда, когда

. (14.19)

1. Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

2. Если прямые параллельны, то возникает задача нахождения расстояния между ними:

Плоскость, содержащая параллельные прямые, имеет вектор нормали: , .

(14.20)

.

Замечание:

A) , т.е. .

B) , т.е. .

3. Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , т.е.

(14.21)

.

6