Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 25 Функции двух переменных

Лекция 25

Функции двух переменных

25.1. Основные понятия

В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

,

- работа тока на участке цепи и др.

Далее остановимся на случае функции 2 переменных.

Определение 25.1.

Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y , из некоторой области их изменений D, соответствует одно определенное значение величины z, то говорят, что z – есть функция двух независимых переменных x и y , определенная в области D (область определения функции).

Обозначение: z = f(x,y)=g(x,y)…

25.2. Способы задания функции

1. Табличный

S=S(x,y)

y\x	1	1.5	2
1	1	1.5	2
5	5	7.5	10

2. Аналитическое задание функции

.

Определение 25.2.

Областью определения функции z = f(x,y) называется множество {x,y}, для которых формула имеет смысл.

Пример 25.1.

Функция определена при .

25.2.3. Графическое задание функции.

Определение 25.3.

Пусть задана функция Графиком называется множество точек в пространстве , где -абсцисса, - ордината, а - аппликата, т.е. графиком является поверхность.

Ранее изучали, что - верхняя часть сферы,

- параболоид, - плоскость.

Замечание 1. Любая поверхность в пространстве является графиком функции, если прямая, параллельная , пересекает ее в одной точке.

25.3. Предел функции двух переменных

Определение 25.4.

Множество точек , удовлетворяющих неравенству

называется -окрестностью точки .

Геометрический смысл

-окрестность точки - круг с центром в точке радиуса .

Определение 25.5.

Функция имеет предел в точке равный , т.е.

,

если она определена в некоторой окрестности точки , и для любого сколь угодно малого найдется такое , что для всех точек , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

.

Замечание 2. Все правила нахождения пределов, сформулированные для функции одной переменной остаются в силе и для функции двух переменных.

Пример 25.2.

1) ,

2) .

Пусть

Определение 25.6.

Функция называется бесконечно малой в точке

(или при ), если .

Если , то , где ,

т.е. функция в окрестности точки отличается от числа на бесконечно малую функцию.

Замечание 3.

Сравнение бесконечно малых функций двух переменных производится также, как и бесконечно малых функций одной переменной, причем под символом будем понимать любую бесконечно малую в точке функцию более высокого порядка малости, чем бесконечно малая в точке функция , т.е. .

25.4. Непрерывность функции двух переменных

Определение 25.7.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или .

Пример 25.3.

1) непрерывна в любой точке.

2)

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

25.5. Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка называется внутренней точкой множества , если существует , состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество (состоящее лишь из внутренних точек) называется открытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка называется граничной точкой области, если в любой существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называется границей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.

Замечание 4. Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то .

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

и , то .

5