Лекции / Лекции по математике / Математика 1 семестр / 19 Предел функции
.docЛекция 19
19.1. Предел функции на бесконечности
Определение 19.1.
Число А называется
пределом функции f(x)
при
,
если для любой бесконечно большой
последовательности
соответствующая
последовательность
сходится
к А.
.
Определение 19.2.
Число А называется
пределом функции f(x)
при
если для любой
бесконечно большой последовательности
значений аргумента, элементы
которой положительны (отрицательны),
соответствующая последовательность
значений функции сходится к А.
19.2. Некоторые свойства функций, имеющих предел
Теорема 19.1 (об ограниченности функций, имеющих предел)
Если
,
то существует некоторая проколотая
окрестность этой точки
,
в которой функция ограничена.
Доказательство
Пусть
.
Теорема 19.2.
Если
,
то
.
Теорема 19.3.
Если
в
некоторой окрестности точки
,
то
.
Теорема19.4(арифметические операции над функциями, имеющими предел).
Если существуют
и
то существуют конечные пределы
,
если
,
причем
,
(19.1).
Доказательство
Для любой
последовательности
формулы (19.1) справедливы, следовательно:
.
По определению
18.1
.
Остальные формулы доказываются аналогично.
Следствие.
Если существует
,
то существует
,
где
.
Теорема 19.5.
Пусть
определены в некотором множестве X.
Пусть для любого
из некоторого промежутка, содержащего
точку
выполняются неравенства
и
имеют одинаковые пределы при
тогда функция
имеет тот же предел при
.
19.3 Два замечательных предела
Докажем, что
(первый
замечательный предел).
Рассмотрим дугу
окружности OA=R=1
c
центральным углом
Тогда MK=sin x, AN=tg x.
,
,
,
,
.
Так как функции
и
имеют в точке
равный
единице предел, то в силу теоремы 19.5:
,
т.е. 1 – правый предел.
Так как
– четная функция, то
.
Пример 19.1
Вычислить
.
.
Заметим
– второй
замечательный предел.
19.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 19.3
– бесконечно
малая функция, если
.
Свойства бесконечно малых функций
.
.
Сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых функций при
является бесконечно малой функцией при
.
.
Произведение бесконечно малой функции
на ограниченную функцию есть бесконечно
малая функция.
Определение 19.4
– бесконечно
большая функция при
,
если:
.
Замечание 1.
Бесконечно большая функция не имеет
предела при
,
но условно говорят:
.
Пример 19.2.
.
Доказать,
что
– бесконечно большая функция.
Замечание 2.
Выражения вида
называются неопределенностью.
19.5 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций
Рассмотрим функции
и
,
заданные в проколотой окрестности точки
(
).
Определение 19.5.
Если
,
то говорят, что
эквивалентна
при
.
Определение 19.6.
Если
и
– бесконечно
малые (бесконечно большие) функции при
и
,то
говорят, что они бесконечно малые
(бесконечно большие) функции одного
порядка.
Определение 19.7
Если f(x)
и g(x)
– бесконечно малые (бесконечно большие)
функции при
и
,
то говорят, что
–
бесконечно малая функция более высокого
порядка, чем
.
(
бесконечно большая функция менее
высокого порядка, чем
).
Замечание 3.
В случае бесконечно малых функций часто
используют символ «о»:
.
В примере 19.1.
Теорема 19.6. (замена функций эквивалентными при вычислении пределов)
Пусть
при
и
определена в проколотой окрестности
точки а(
).
Тогда, если существует
и существует
,
то существуют
,
и
они равны предыдущим.
Доказательство
1). Пусть существует
,
тогда
.
2)
.
Пример 19.3.
Вычислить
.
