1.13 Математические действия над результатами измерений.

1.13.1 Функциональные преобразования результатов измерений.

П

Рисунок 1.10 – Графики функций P(A) и P(Q).

ри использовании измерительной информации нередко производят различные математические действия над результатами измерений. При этом обязательно нужно учитывать, что результат измерения является случайным значением измеряемой величины. Обращение с результатами измерения, как с неслучайными значениями приводит к ошибкам.

Любые функциональные преобразования результатов измерений связаны с изменением из законов распределения вероятности. Так, если Q=f(A), где А – результат измерения, аf– монотонная функция, то плотность распределения вероятностиQвыражается через плотность распределения вероятности результата А измерения, как:

; (1.58)

где f ^–1– функция обратная функцииf.

Пример:Q=A², плотность распределения А:. Определить закон распределения вероятности результата измеренияP(Q).

Решение:

;

.

При сложных функциях и в случае, когда функция является функцией нескольких переменных, произвести указанные преобразования невозможно. В этом случае обычно ограничиваются определением приближенных оценок числовых законов.

Пусть осуществляются косвенные измерения величины Qпутем вычисления ее значения по результатам измерений А и В по известной зависимостиQ=f(A;B). Предположим, что в результат измерения А и В внесены все необходимые поправки. Тогда А и В можно представить как:

;;;

Идея приближенного вычисления заключается в том, что сложную функцию представляют рядом, в котором ограничиваются первыми членами разложения.

Очевидно, что по сравнению с изначения δ_Аи δ_Вдостаточно малы, поэтому разложим функциюfв ряд Тейлора:

(1.59)

Из анализа выражения (1.59) видно, что первые слагаемые правой и левой частей не зависят от случайных отклонений, и следовательно:

(1.60)

Для определения поправки Θ вычитаем из (1.59) уравнение (1.60) и усредним левую и правую части полученного выражения:

(1.61)

Видно, что при функциональных преобразованиях результатов измерений, даже при равенстве нулю значений поправок А и В возникает необходимость во внесении поправки Θ.

Анализируя (1.61) можно сказать что:

(1.62)

Переходя к точечным оценкам, получим:

; (1.63)

; (1.64)

где – коэффициент корреляции ()

(1.65)

Рассмотрев общий подход к функциональным преобразования результатов измерений, рассмотрим несколько частных случаев.

Пример 1: Алгебраическое сложение результатов измерений.

Измеряют сопротивления двух резисторов. Получен результат R₁=100 Ом,S_R1=5.8 (распределение равномерное) иR₂=100 Ом,S_R2=5.8 (распределение равномерное). Определить сопротивление последовательно соединенных указанных резисторов.

Решение:

1. Определим Ом; Θ=0.

Ом.

2. Определим сопротивление Rс учетом того, чтоR₁=R₂, какR=2·R₁. ТогдаОм;Ом.

Пример указывает на то, что для результатов измерений операция сложения не эквивалентна операции умножения, то есть , гдеQ_i=Q.

Выше указывалось, что распределение вероятности алгебраической суммы нескольких случайных величин называют композицией их распределений. Полезно знать, что композицией двух равномерных законов распределения является треугольный закон распределения (закон Симпсона). Композицией двух равномерных законов с неодинаковым размахом является трапециидальный закон. С увеличением числа независимых слагаемых композиция их законов распределения быстро стремиться к нормальному закону (4..5 слагаемых). Нормальный закон является наиболее устойчивым.

Вернемся к рассмотренному примеру. Определим интервал, в котором лежит значение суммарного сопротивления. Поскольку как установлено закон распределения треугольный, то воспользовавшись