1.11 Многократное измерение.

Многократное измерение проводится в основном в профессиональной метрологической деятельности а также при проведении точных измерений научных экспериментов. Они очень трудоемки и требуют затрат времени и средств, поэтому необходимость многократного измерения должна быть технико-экономически обоснована.

Рассмотрим последовательность действий при проведении многократного измерения.

1. Анализ априорной информации. Назначение анализа такое же, как при однократном измерении. При этом роль анализа в данном случае уменьшается за счет большого количества апостериорной информации, получаемой в процессе измерений (распределение вероятности результата измерений определяется экспериментально).

2. Получение nнезависимых значений отсчета. Эта основная измерительная процедура, которая может быть организованная по-разному:

• Если измерением измеряемой величины во времени можно пренебречь, то значения отсчета получают путем многократного повторения процедуры сравнения;

• Если известно, что измеряемая величина может существенно измениться, то ее измеряют одновременно несколькими средствами измерений, каждое из которых дает одно из значений отсчета.

3. Перевод значений отсчета в показания и внесение в них поправок. В результате этого действия получают nнезависимых результатов измерений. Если многократное измерение выполнялось одним средством измерения, то поправки могут изменяться за счет изменения во времени влияющих факторов. Если использовалось несколько средств измерений, то поправки отличаются из-за индивидуальных свойств средств измерений. Весь массив данных(гдеi=1..n) характеризует результат многократного измерения.

4. Исключение ошибок. Определяют точечные оценки результата измерения и проверяют по правилу «трех сигм» (или иначе) сомнительные результаты. Если ошибки есть, то их исключают и повторно определяют точечные оценки (способ ранее рассмотрен)

5. Проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения. Дальнейшая обработка результатов измерений производится в зависимости от того, является ли закон распределения вероятности нормальным или нет.

   1. Строят гистограмму. По виду гистограммы уже можно определить, что закон распределения отличается от нормального закона. Если по гистограмме можно предположить что закон может быть нормальным эту гипотезу нужно математически доказать. При построении гистограммы учитывают следующие рекомендации:

• интервалы по оси абсцисс следует выбирать, по возможности одинаковыми;

• число интервалов зависит от n:

n	40..100	100..500	500..1000	1000..10000
k	7..9	8..12	10..16	12..22

• масштаб гистограммы целесообразно выбирать так, чтобы ее высота относилась к основанию как ½.

2. Проверка нормальности закона распределения по критерию Пирсона. Выдвигают гипотезу о том, что экспериментальные данные соответствуют нормальному закону. За меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом принимают сумму квадратов отклонений отношения m/nот теоретической вероятностиp_iпопадания отдельного значения в i-тый интервал (m– число результатов измерения вi-том интервале;n– число всех результатов измерения), причем каждое слагаемое умножают на коэффициентn/p_i:, гдеk– число интервалов;n– число результатов, попавших вi-тый интервал;p_i– вероятность попадания отдельного результата вi-тый интервал. Если расхождение случайно, то χ²(коэффициент «ХИ-квадрат» или «коэффициент Пирсона») подчиняется распределению Пирсона. По этому распределению есть необходимые таблицы. По таблицам в зависимости от доверительной вероятности и числа интервалов можно определить табличный коэффициент χ₀². Если χ²< χ₀²,то с установленной вероятностью можно признать случайным расхождение экспериментальных данных и теоретического закона распределения, что подтверждает гипотезу о выбранном теоретическом законе. Последовательность действий при проверке следующая:

• разбивают диапазон изменения Qна интервалы (5-30) так, чтобы в каждом интервале было не менее 5 значений;

• определяют значения t_iдля каждогоi-ого интервала по формуле:, гдеQ_i– наибольшее значение дляi-ого интервала;

• определяют значение интеграла вероятности Лапласа L(t_i) для каждогоi;

• определяют ;

• определяют ;

• определяют χ², сравнивают его с табличным значением χ₀²;

• делают заключение о законе распределения результата измерения.

Критерий согласия Пирсона широко применяется при n=40..50 и более.

2. Проверка нормальности закона распределения по составному критерию. Применяют при 10..15<n<40..50. Рассчитывают критерий по формуле:. Проверяют выполнение условия:, гдеd_minиd_max– коэффициенты, зависящие от вероятностиP₁^*, с которой принимают решение. Они определяются по соответствующим таблицам. Если условиевыполняется, то дополнительно проверяют «хвосты» теоретического и эмпирического распределения. При 10<n<20 считается допустимым отклонение одного из результатовQ_iот среднего арифметического больше, чем на 2,5S_Q; при 20<n<50 – двух, что соответствует доверительной вероятностиP₁^**=0.98. Несоблюдение хотя бы одного из этих условий достаточно для того, чтобы гипотеза о нормальности распределения была отвергнута. В противном случае гипотеза принимается с вероятностью.

3. Решение принимается на основе априорной информации. При n<10 гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерения не проверяется.

5. Определение доверительного интервала.

1. При нормальном законе распределения вероятности результата измерения доверительный интервал определяется, как изложено в п.1.9.4: при n>40..50 определяется через функцию вероятности; приn<30..40 – по распределению Стьюдента.

2. П

   

   ри отклонении гипотезы о нормальности закона распределения по виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу хотя бы о симметричности закона. Гипотезы о симметричности закона распределения проверяются по тем же критериям. При этом в качестве теоретического закона выбирают одну из стандартных аппроксимирующих функций, вид которой можно определить по гистограмме или по априорной информации.

Пример:при измерении частоты на электронно-счетном частотомере заранее известно, что результат измерения распределен по треугольному закону, поэтому при малом влиянии других факторов можно принять именно эту функцию. По критерию согласия проверяется, согласуется ли характер экспериментальных данных с гипотезой о том, что результат измерения подчиняется выбранному закону распределения.

Особенность стандартных аппроксимирующих функций заключается в том, что они усеченные. Поэтому смысл доверительного интервала для них теряется. Вместо него по «МИ 1317-86 ГСИ. Результаты измерений и характеристики погрешностей измерений. Формы представлений …» используется аналог доверительного интервала, определяемый как ±a·S, гдеa– аналог коэффициентаt, он берется из соответствующих таблиц (см. рисунок).

В случае, когда по гистограмме явно видно, что закон распределения несимметричный, то поступают следующим образом: устанавливают пределы, за которыми не может оказаться значение измеряемой величины при любом законе распределения (точность при этом, конечно, ниже). Для несимметричных законов среднее арифметическое и СКО уже не являются оценками результата измерения как ранее.

Неравенство Чебышева устанавливает, что вероятность того, что значение случайного числа при любом законе распределения не будет отличаться от среднего значения больше, чем на половину доверительного интервала:

(1.47)

В данном случае Sопределяется как:

(1.48)

По таблице определяют для доверительной вероятности значение t, по которому вычисляют доверительный интервал.

Если закон не нормальный, но симметричный, то значение можно оставить прежним (как при нормальном законе). Неравенство Чебышева в данном случае будет иметь вид:

(1.49)

При этом точность измерения более высокая.