1.9.4 Оценки результата измерения.

После того, как влияние постоянно действующих и закономерных влияющих факторов исключено или учтено введение поправок, результат измерения остается случайным. Рассеяние отдельных значений результата измерения объясняется тем, что сравнение неизвестного размера с известным (получение отсчета) происходит в условиях воздействия множества случайных факторов (помех), точный учет совместного влияния которых невозможен. Поэтому для оценки закона распределения результата измерения необходимо провести многократное измерение, то есть несколько раз измерить одну и ту же величину.

Применяют два вида оценок результата измерения – точечныеиинтервальные.

1.Точечные оценки– это оценки, которые выражаются одним числом.

Предположим, что путем внесения поправок все закономерно изменяющиеся факторы учтены (выполнено исправление результата измерения). Тогда результат каждого отдельного сравнения при многократном измерении можно представить как:

(1.24)

где δ_i–случайная погрешностьрезультата измерения;Q_i– результатi-того сравнения значения величины с мерой (измеренное значение величины);Q– значение измеряемой величины.

В большинстве случаев δ распределена по одному из симметричных законов (как правило, по нормальному закону) распределения вероятности. Определим среднее арифметическое значение результата измерения:

(1.25)

Для симметричных законов при достаточно большом nΣδ_i→ 0, то есть среднее арифметическое стремиться к значению измеряемой величины:.

Вывод:При симметричных законах распределения вероятности результата измерениясреднее арифметическое, будучи оценкой математического ожидания, является оценкойзначения измеряемой величины.

Мерой рассеяния отдельных результатов сравненияотносительносреднего арифметическогоявляется среднее квадратическое отклонение, оценка которого определяется как:

(1.27)

Отметим, что среднее арифметическоеопределяется по конечному ряду значений, каждое из которых является случайной величиной. Поэтомусреднее арифметическое, а следовательно исреднее квадратическоеотклонение, являясь оценками результата измерения, также будутслучайными величинами.

Мерой рассеяния среднего арифметического значенияотносительнозначения измеряемой величиныявляется среднее квадратическое отклонение среднего арифметического или так называемое стандартное отклонение, оценка которого определяется как:

(1.28)

Видно, что с увеличениемчисла опытовточностьмногократного измерениявозрастает(«семь раз отмерь – один раз отрежь»).

2. Интервальные оценки.

Точечные оценки иSхарактеризуют результат измерения, при этом, однако, оценка по данным точечным характеристикам результата измерения не является наглядной и не дает непосредственной информации о том, чему же равно значение измеряемой величины.

Смысл оценки результата измерения с помощью интерваловзаключается в нахожденииинтервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенной вероятностью (доверительной вероятностью) находится значение измеряемой величины.

Пусть α означает вероятность того, что значение результата измерения не отличается от значения величины больше, чем не E, что можно записать в виде:

(1.29)

Тогда α – доверительная вероятность, а интервал значений от до– доверительный интервал.

Очевидно, что доверительный интервалидоверительная вероятностьсвязаны между собой чем больше α, тем больше должен быть Е. Таким образом, для оценки результата необходимо иметь два значения: доверительный интервал – оценка точности и доверительная вероятность – оценка надежности результата измерения.

На практике обычно задаются определенной степенью надежности (доверительной вероятностью) и рассчитывают доверительный интервал. В машино- и приборостроении обычно задают α=90..95%. Для ответственных изделий может иметь место α=0,99% или даже α=0,999%.

Значение Е определяется на основании точечных оценок. Если закон распределения результата измерения нормальный, то Е можно определить по табулированной функции:

(1.30)

где x=E/S.

Так, например, доверительный интервал ±Sсоответствует доверительной вероятности α=0,683. Вероятности α=0,954–Е=±2S, а вероятности α=0,997–Е=3S.

Приведенные рассуждения правомочны, если имеется достаточно большое число экспериментальных данных (n>40..50). При технических измерительных обычно производят значительно меньшее число измерений. В случае, когда вероятность результата измерения распределяется по нормальному закону, а количество экспериментальных данных меньше 30…40, то среднее арифметическое подчиняется закону распределения вероятности Стьюдента (псевдоним В.С. Гассета) с тем же средним значением.

Не останавливаясь на математических выражениях для распределения Стьюдента, отметим, что значения функции также табулированы. На основании табличных данных, задаваясь доверительной вероятностью и числом экспериментальных данных – n, можно определить величину коэффициента Стьюдента–t_α. Параметрt_αиграет в метрологии важную роль.Он показывает на сколько σ (СКО) с заданной вероятностью может отличаться случайное число, подчиненное нормальному закону распределения вероятности, от своего среднего значения. В данном случаеt_αпоказывает, насколькоS(среднее арифметическое значение) может отличаться от значения измеряемой величины. Таким образом, доверительный интервал определяется как:

(1.31)

В отличие от нормального закона распределения, распределение Стьюдента дает значение t_αзависимое отn. Так, например доверительный интервал ±2Sимеет место для доверительной вероятности 0.86 (n=4); 0.90(n=6); 0.924(n=10); 0.940(n=20). Приn>30 закон Стьюдента преобразуется в нормальный закон распределения вероятности.