Нормальный закон распределения вероятности (закон Гаусса).
Является наиболее широко распространенным при описании эмпирических (опытных) данных. Имеет место, когда результат измерения определяется совместным действием большого числа факторов, среди которых нет доминирующего.
Свойства нормального закона распределения вероятности:
результат сравнения по (1.9) может принимать непрерывный ряд значений;
вероятность появления отсчетов, для которых отклонения от среднего значения равны по модулю, но противоположены по знаку – одинакова. (симметричный закон);
вероятность появления отсчетов уменьшается по мере возрастания отклонения от среднего значения;
Кривая плотности распределения вероятности для нормального закона показана на рисунке 1.5, она имеет форму колокола. Дифференциальная p(x) и интегральнаяF(x) функции нормального распределения вероятности имеют вид:
;
(1.17)
где σx– среднее квадратическое отклонение
(
;
– среднее значение отсчета (его
математическое ожидание)).
К важнейшим преимуществам нормального закона распределения относится его устойчивость, то есть при комбинации нормальных законов получается также нормальный закону.
Вторым преимуществом является наличие различных табличных данных по данному закону, что упрощает процедуру его применения.
Равномерный закон распределения
Имеет место, когда вероятность появления отсчета на некотором интервале значений измеряемой величины остается неизменной.
Примеры: технологическое распределение сопротивлений резисторов; распределение диаметров шариков в подшипнике.
В
Рисунок 1.6
–Плотность равномерного и центрального
распределения вероятности.
;
СКО –
;
дисперсия –
;
плотность распределения –
.
1.9.3 Учет влияющих факторов.
Выше указывались основные группы факторов, влияющих на результаты измерения. Очевидно, что при проведении измерений необходимо каким-то образом учитывать эти факторы. В зависимости от этапа выполнения,мероприятия по учету факторов можно разбить на 3 группы.
1. Подготовка к измерениям.В период подготовки к измерениям факторы, влияющие на их результат необходимо (по возможности)исключить.Для этого особое внимание уделяют тщательному анализу свойств объекта измерения. К примеру, субъективная составляющая может быть существенно уменьшена путем соблюдения эргономических требований (они указаны выше). Большую роль в подготовке эксперимента играет правильно составленнаяметодика выполнения измерений.
Для исключения или уменьшения влияния условий измерений применяются различные мероприятия: применение средств измерений, имеющих специальное экранирование, термостатирование, амортизационные устройства (морской хронометр), стабилизаторы.
2. Процесс измерения. Если влияющие факторы не удалось исключить, то в процессе измерение ихстараются скомпенсировать. Это достигается выполнением специальных методик выполнения измерения. Единых правил для этого нет, однако со временем выработались некоторые приемы, знание которых может быть полезным.
Измерение методом замещения– примеры рассмотрены выше: взвешивание по методу Борда, Замещение в мостовой схеме.
Компенсация влияющего фактора по знаку. Сущность заключается в том, что измерение проводят дважды, так, чтобы влияющий фактор оказывал противоположенное действие. За результат измерения принимается среднее арифметическое двух опытов. Пример: любая подвижная пара в механизме имеет зазор – люфт, что приводит (или может привести) к погрешности. Влияние люфтов может быть существенно уменьшено, если измерения проводить 2 раза: сначала со стороны меньших значений, а потом со стороны больших (например, овальность).
Метод противопоставления. Применяется в случае, когда влияющий фактор приводит не к изменению результата измерения на некоторую величину, а к умножению его на некоторый коэффициент.Пример:взвешивание на равноплечих весах. Вначале производят обычное взвешивание:
(1.18)
Затем груз устанавливают на другую чашу весов и вновь уравновешивают его гирями:
(1.19)
Искомое значение массы определяют из уравнения:
(1.20)
Метод симметричных измерений.Используется для исключения прогрессивного влияния какого-либо фактора, являющегося линейной функцией времени (постоянный нагрев аппаратуры, разряд аккумуляторов, потеря эмиссии радиоламп).Сущность:в течение некоторого интервала времени выполняется несколько измерений одной и той же величины постоянного размера и за окончательный результат принимается полу сумма отдельных результатов, симметричных по времени относительно середины интервала.
3. После измерения, если его не удалось организовать так, чтобы исключить или скомпенсировать какой-либо фактор, влияющий на результат, в последний иногда вносятпоправки. Сущность поправок рассмотрим на примерах:
П
Рисунок 1.7 –
Схемы измерения сопротивления методом
амперметра-вольтметра.
При значениях измерительного сопротивления, соизмеримых с сопротивлением вольтметра, эта поправка значительна. Во втором случае из показаний вольтметра необходимо вычесть падение напряжения на амперметре, то есть внести в показаниявольтметра поправку:
Эта поправка значительна при малых значениях R, соизмеримых с сопротивлением амперметра. Такие поправки называютсяаддитивными. Результат измерения получают путем прибавления аддитивной поправки к показаниям средства измерения:
(1.21)
При этом результат измерения не равен значению измеряемой величины, поскольку результат измерения, как и отсчет, и показания, является величиной случайной.
Пример 2. Измерение ЭДС вольтметром. В этом случае внутреннее сопротивление источника ЭДС обычно не учитывают. При этом вольтметр, согласно закону Ома, показывает не ЭДС, а падение напряжения на внутреннем сопротивлении вольтметра:
Таким образом, для
исключения влияния метода измерения в
данном случае необходимо умножить
показание вольтметра на поправочный
множитель:
Такого рода поправки (поправочные множители) называют мультипликативными поправками. Результат измерения получается умножением показания средства измерения на мультипликативную поправку:
(1.22)
Результат измерения также является случайной величиной.
Рассмотренные примеры иллюстрируют возможность учета с помощью поправок влияния несовершенство метода измерения. Аналогичные действия могут быть выполнены и для учета влияния условий измеренийисредств измерений.
Погрешность средств измерений, возникшая в результате влияния целого ряда факторов, всегда является случайной величиной. При этом, однако, часто погрешность имеет некоторую закономерную составляющую, приводящую к смещению среднего значения показания относительно значения измеряемой величины. То есть, средство измерения дает постоянно завышенное или заниженное значение. Закономерная составляющая погрешности средства измерения, которую ранее называлисистематической погрешностью, может при повторных измерениях одной и той же величины оставаться неизменной или изменяться по определенному известному закону. В зависимости от характера изменениязакономерной погрешностипри изменении измеряемой величины, она может называтьсяпостоянной,прогрессивной,периодической(примеры: смещение начала отсчета – постоянная; погрешность при измерении времени (часы спешат или отстают) – прогрессивная; погрешность от эксцентриситета шкалы – периодическая).
Указанные особенности средств измерений выявляются при их аттестации – всестороннем метрологическом обследовании. По итогам аттестации устанавливают поправку ΘСИ, которую необходимо вносить в показания средства измерения. Эта поправка может быть аддитивной или мультипликативной; числом или функцией; может задаваться графиком, функцией или таблицей. С учетом сказанного, результат измерения может быть представлен как:
(1.23)
Необходимо помнить, что аддитивные поправки имеют размерность измеряемой величины, а мультипликативные поправки – безразмерны.
Для иллюстрации приемов экспериментального определения поправок рассмотрим 2 способа.
1. Исследуемым прибором выполняют многократное измерение соответствующей образцовой меры, действительной значение которой известно с требуемой точностью. Поправку к показаниям средства измерения определяют как разность между значениями меры и средним арифметическим показанием прибора.
2. Одну и ту же величину измеряют образцовым и исследуемым прибором одновременно. При этом в каждом измерении добиваются одного и того же показания исследуемого прибора. Поправку определяют, как разность между средним арифметическим показаний образцового прибора и показанием поверяемого прибора.