1.9.2 Основной постулат метрологии.

В процессе измерения неизвестный размер сравнивают с известным, который обычно принимают за единицу и выражают его через известный размер в дольном или кратном соотношении.

Математически эту процедуру можно записать так:

; (1.9)

где X– отсчет по шкале;Q– измеряемая величина; [Q] – единица измерения.

Выражение (1.9) называют уравнением измерения. В качестве [Q] при измерении физической величины выступает соответствующая единица СИ. Информация об этой единице заложена либо в используемой мере (метод сравнения с мерой), либо в разметке шкалы отсчетного устройства, в градировочной характеристике. При органолептических измерениях используется представление о размере величины, хранящемся в памяти человека.

Следует отметить, что процесс сравнения осуществляется при воздействии множества как случайных, так и не случайных факторов, основные группы которых мы рассмотрели. Точный учет совместного влияния всех факторов невозможен, поэтому при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, результат сравнения X, называемый отсчетом, получается все время разным.

Это положение, подтвержденное многолетней практикой, формулируется в виде аксиомы, которую называют основным постулатом метрологии – отсчет всегда является случайным числом.

На основании отсчета определяется показание средства измерения:

(1.10)

при этом, очевидно, что показание средства измерения является также случайным значением (X≠Q).

Многие трудности в метрологии связаны с тем, что отсчет невозможно представить одним числом (величина случайная). Его можно как-то описать словами или математическими зависимостями.

Пример:Приn-кратном независимом измерении одной и той же физической величины постоянного размера аналоговым измерительным прибором указатель отсчетного устройства в случайной последовательности поMраз останавливался на каждом из делений шкалы:

0,10…0,11	0,11…0,12	0,12…0,13	0,13…0,14	0,14…0,15	0,15…0,16	0,16…0,17	0,17…0,18	0,18…0,19	0,19…0,20
1	2	6	11	19	23	20	10	5	3

Чему равен отсчет при таком измерении?

Р

Рисунок 1.4 – Построение кривой распределения вероятности отсчета

ешение:1) Принимаем деления шкалы за основания и построим ни них прямоугольники с высотами, равными отношениям частотM/nк цене деления ΔX. 2) Полученная фигура (рисунок 1.4) называетсягистограммой. Если соединить отрезками середины верхних сторон соседних прямоугольников, получим ломаную линию называемуюполигоном распределения. Как гистограмма, так и полигон, являются исчерпывающим эмпирическим описанием отсчета. Если бы была возможность увеличитьn, то в пределе прииполигон преобразовался бы в плавную кривую –кривая плотности вероятности отсчета–p(x) (дифференциальная функция распределения плотности вероятности).

Построение можно выполнить иначе. Подсчитывая сколько раз указатель отсчетного устройства останавливался левее каждой отметки шкалы, откладывая над этой отметкой вдоль оси ординат отклонение числа таких отклонений к их общему числу nи соединяя полученные точки отрезками прямых, мы получим ломаную линию, называемуюкумулятивной кривой. Прикумулятивная кривая преобразуется винтегральную функцию распределения вероятности отсчета–F(x).

Плотность распределения вероятности p(x) и интегральная функция распределения вероятностиF(x) служат математическими моделями законов распределения, получаемых из экспериментальных данных.

Рассмотрим некоторые основные свойства законов распределения вероятностиотсчета:

1. интегральная функция распределения вероятности F(x) – определяет вероятность того, что отдельный результат сравнения по формуле (1.9) будет меньшеx.

2. F(x) – функция не убывающая, т.е. чем большеx, тем больше вероятность того, что результат сравнения по (1.9) не превысит это значение. При этом в случае измененияxот –∞ до +∞,F(x) изменяется от 0 до 1.

3. Вероятность того, что результат измерения окажется в интервале (x₁;x₂) равна разности значенийF(x) на границах этого интервала:

Описание отсчета с помощью законов распределения вероятности является наиболее полным, нонеудобным. Обычно на практике используют приближенное описание закона с помощью его числовых характеристик или моментов. Все они представляют собой некоторыесредние значения. Если величины усредняются относительно начала координат, то они называютсяначальными, если усреднение производится относительно центра распределения, то моменты называютсяцентральными.

Общее правило образования начальных моментов:

, гдеr– показатель степени. (1.11)

В метрологии широкое распространение находит начальный момент I-ого порядка, который называют математическим ожидание или средним значение отсчета:

; (1.12)

Свойства математического ожидания:

; ;;;

Математическое ожидание характеризует среднее значение отсчета. При этом экспериментально определить М(х) невозможно, поскольку для этого необходимо выполнить бесконечное число измерений (). На практике используют лишь оценку математического ожидания – среднее арифметическое значение. Присреднее арифметическое значение стремится к математическому ожиданию.

Мерой рассеяниярезультатов сравнения по формуле (1.9) относительно среднего значения является центральный моментIIпорядка, называемыйдисперсией.

; (1.14)

Свойства дисперсии: ;;.

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов сравнения относительно . Это наглядно видно из рисунка 1.5, где представлены кривые плотности распределения вероятности отсчета при различной дисперсии.

В

Рисунок 1.5 – Кривые плотности вероятности при различных дисперсия.

метрологии чаще используютсреднеквадратическое отклонение(СКО) – σ.

Среднеквадратическое отклонение, как и математическое ожидание, будучи характеристиками случайных законов распределения, сами не являются случайными, что очень удобно. Однако найти его опытным путем также невозможно, поэтому ограничиваются определением оценки среднего квадратического отклонения по формуле:

; (1.16)

Математическими моделями эмпирических (опытных) законов распределения вероятностей отсчета могут быть различные законы распределения вероятности: закон Симпсона, Релея, Гаусса (нормальный закон распределения), равномерный закон и т.п. При этом наиболее подробного рассмотрения заслуживают 2 последних закона.