3. Предел функции

Понятие предела является математическим выражением факта одновременного стремления двух связанных величин к некоторым значениям.

Примеры:

__________________________________________________________________________________

• если вы читаете литературу со скоростью 60 страниц в час, то при стремлении времени чтения к двум часам числе прочитанных страниц будет стремиться к 120;

• если количество рекламных вставок равно 30 в час, то при прибли­жении времени просмотра телепередачи к трем часам число реклам будет приближаться к 90;

• вы усиленно работаете над своим характером, чтобы быть похожим на Васю, который нравится Марине, а она нравится вам; тогда, если вы станете похожим на Васю, степень благосклонности Марины к вам будет почти такой же, как и к Васе [1, с. 112].

_______________________________________________________________

Понятие предела является одним из основных в математике. Рас­смотрим любую функцию, например у = x³; зададим любое значение х, к примеру, х = 2. Возьмём последовательность чисел x, близких к числу 2, и вычислим значения у_i = х_i³. Один из вариантов последовательностей чисел x_i и у_i^. приведен в табл. 4.3.

Таблица 4.3

x	1,96	1,97	1,98	1,99	2	2,01	2,02	2,03	2,04
y	7,53	7,64	7,76	7,88	8	8,12	8,24	8,36	8,49

Приведенная в таблице последовательность чисел имеет следующую закономерность: чем меньше число х отличается от числа 2, тем меньше соответствующее значение у отличается от числа 8. Т. е. при стремлении числа х к 2 число у стре­мится к 8, какие бы последовательности чисел x_i и у_i = х_i³ мы ни рассматривали.

Число А называется пределом функции у = f(x) при стремлении х к а (или в точке х = а), если для всех значений х (х ≠ а), сколь угодно мало отличающихся от а, соответствующие значения у сколь угодно мало отличаются от А.

y у = f(x)

A +ε

A 2ε

A – ε

0 х₀ - х₀ х₀ + x

Рис. 4.5

Число А — предел функции y=f(x) при х → а, если для любого положи­тельного числа ε можно указать такое положительное число δ, зависящее от ε, что для всех х, удовлетворяющих нера­венству 0 < |х - а| <δ, имеет место неравенство |f(x) — А| < ε.

Символическая запись: lim f(x) = A

x→a

Пример:

__________________________________________________________________________________

Предел функции у=х² в точке х=2 равен 4. Записываем:

____________________________________________________________