I. Описание критерия н.

Метод Крускала-Уоллиса является продолжением метода Манна-Уитни на большее число выборок. Критерий Н оценивает общую сумму перекрещивающихся зон при сопоставлении всех обследованных выборок. Если область наложения мала (рис. а), то различия достоверны; если она достигает определенной критической величины и превосходит ее (рис. б), то различия между выборками оказываются недостоверными.

Графически:

а) б)

Рис. 3.

Для применения данного метода необходимо ранжировать значения всех выборок одновременно, затем подсчитываются суммы полученных рангов по каждой выборке. Если различия между выборками случайны, то суммы рангов не будут существенно отличаться.

Найдем эмпирическое значение

Н_эмп= - 3(N+1),

где N=n₁+ n₂+ n₃…, - суммы рангов по каждой выборке.

Ограничения Н-критерия:

1. Если при сопоставлении трех выборок их численности малы, то допускается следующее соотношение их объемов 3:2:2, 4:2:2, но лучше не менее 3 испытуемых, т.е. 3:3:3.

2. Критические значения для данного критерия представлены только для трех выборок с объемами не более 6 значений.

При большем количестве выборок и испытуемых в каждой выборке необходимо использовать таблицу критических значений критерия χ², т.к. критерий Н асимптотически приближается к распределению χ². При этом количество степеней свободы находят по формуле ν=с-1, где с – количество исследуемы выборок.

3. Если данным методом определяются случайные различия между выборками, можно провести попарные сопоставления, т.к. случайность различий может быть только у какой-то одной пары (используются критерии U или φ^*).

II. Описание критерия s.

Данный критерий выявляет не только различия между выборками, но и упорядочивает их по исследуемому признаку. Возможны 2 случая:

1) если выборки отличаются по качественному признаку (профессия, пол, национальность и др.), то с помощью этого метода упорядочиваем по количественному признаку (креативности, интеллекту и др);

2) если же они различаются по количественному признаку (возрасту, стажу работы и др.), то упорядочивая их по другому количественному признаку, мы, по сути, устанавливаем меру связи между двумя количественными признаками. Меру связи можно установить и с помощью вычисления коэффициента корреляции, но критерий S в этом случае имеет некоторые преимущества:

а) он более прост в вычислениях,

б) применим, когда один из признаков принимает 3 или 4

значения, что при вычислении корреляции дает очень грубый

результат.

S-критерий по способу расчета напоминает критерий Q-Розенбаума. Все выборки располагаются в порядке возрастания исследуемого признака слева направо. При упорядочивании можно опираться на средние значения выборок или суммы всех значений в каждой выборке, т.к. их объемы должны быть равными. Если количества в группах не совпадают, то их уравнивают к меньшему объему путем случайного отбора испытуемых. При этом часть информации утрачивается.

В каждой выборке значения располагаются по возрастанию. Для каждого индивидуального значения подсчитывается количество значений справа, превышающих его по величине (обозн. S_i). Если различия существенны, при чем в направлении возрастания, то естественно, что большая часть значений справа должна быть выше. Критерий S позволяет определить, преобладают ли справа более высокие значения или нет. Чем больше S_эмп, тем тенденция возрастания признака является более существенной.

Для каждой выборки подсчитывается сумма всех S_i, а затем и их общая сумма для всех выборок, которую обозначим А. Максимально возможное количество превышающих значений, которое бы получили, если бы все значения справа были выше значений слева, высчитывается по формуле:

В= ², где с – количество выборок, n – объем одной выборки.

Тогда S_эмп=2А – В.

Критические значения S находим по таблице в зависимости от n и с и, используя ось значимости делаем вывод о принятии гипотезы Н₁ или ее отклонении.

Ограничения критерия S:

1. Все выборки должны быть одинакового объема.

2. 3≤с≤6, 2≤n≤10. При большем количестве выборок или испытуемых необходимо пользоваться критерием Н Крускала-Уолиса.

Пример. При выборе на должность директора обследовались 20 мужчин. Оценка проводилась по 15 значимым для той фирмы психологическим качествам, одним из которых была «авторитетность». Кроме этого, каждый участник ответил на вопрос: «Я бы выбрал на должность директора…». В результате все участники были разбиты на 4 одинаковых по количеству группы в зависимости от количества выборов от других участников.

№п/п	группа 1 (0 выборов)		группа 2 (1 выбор)		группа 3 (2-3 выбора)		группа 4 (4 и более выборов)
	индив. значения	Si	индив. значения	Si	индив. значения	Si	индив. значения
1 2 3 4 5	2 4 5 5 5	15 14 11 11 11	4 5 6 6 7	10 8 7 7 4	5 5 6 7 7	5 5 5 4 4	7 8 8 9 9
суммы	21	62	28	36	30	23	41
средние	4,2		5,6		6,0		8,2

Вопрос: Можно ли считать, что группы с разным статусом различаются и по уровню авторитетности?

По данным таблицы можем сформулировать гипотезы:

H₀ – тенденция возрастания значений по шкале «авторитетности» при переходе от группы к группе является случайной.

H₁ – тенденция возрастания значений по шкале «авторитетности» при переходе от группы к группе не случайна.

1. Применим критерий S.

Найдем S_i и подсчитаем общие суммы и величины А и В:

А=62+36+23=121, В= ²= =150 (15х5+10х5+5х5=150).

Тогда S=2А – В=2х121 – 150=92.

Для с=4, n=5 находим S_кр по таблице

51 (р≤0,05)

S_кр=

72(р≤0,01)

По оси значимости делаем вывод, что принимается гипотеза H₁ - тенденция возрастания значений по шкале «авторитетности» при переходе от группы к группе не случайна.

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

51 72 92

2. Применим критерий Н для выявления различий между группами.

Для этого проранжируем значения всех выборок

№п/п	группа 1 (0 выборов)		группа 2 (1 выбор)		группа 3 (2-3 выбора)		группа 4 (4 и более выборов)
	индив. значения	ранги	индив. значения	ранги	индив. значения	ранги	индив. значения	ранги
1 2 3 4 5	2 4 5 5 5	1 2,5 6,5 6,5 6,5	4 5 6 6 7	2,5 6,5 11 11 14,5	5 5 6 7 7	6,5 6,5 11 14,5 14,5	7 8 8 9 9	14,5 17,5 17,5 19,5 19,5
суммы	21	23	28	45,5	30	53	41	88,5

Расчетная сумма рангов ΣR= .

23+45,5+53+88,5=210.

Тогда Н_эмп= - 3 21≈12,7.

Так как выборок 4, то критические значения находим по таблице критерия χ², ν=с-1=4 – 3=3.

7,82 (р≤0,05)

Н_кр=

11,35 (р≤0,01).

По оси значимости делаем вывод, что принимается гипотеза H₁ - тенденция возрастания значений по шкале «авторитетности» при переходе от группы к группе не случайна.

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

7,82 11,35 12,7