Тема 2.8. Многофункциональные статистические критерии

План

1. Понятие многофункциональных критериев.

2. Угловое преобразование φ^* Фишера.

3. Биномиальный критерий m.

1. Многофункциональные критерии – это критерии, которые могут использоваться по отношению к самым разнообразным данным, выборкам и задачам. Данные могут быть представлены в любой шкале измерения. Выборки могут быть как зависимые, так и независимые.

Суть этих критериев состоит в определении того, какая доля наблюдений (реакций, выборов) в данной выборке характеризуется интересующим исследователя эффектом, а какая нет.

Таким эффектом может быть:

1) определенное значение качественно определяемого признака (например, выбор правой дорожки из 2-х, отнесенность к определенному полу и т.д.);

2) определенный уровень количественно измеряемого признака (например, решение задачи менее чем за 10 мин; получение оценки, превосходящей проходной балл и т.д.);

3) определенное соотношение значений или уровней исследуемого признака (например, преобладание положительных сдвигов над отрицательными).

Т.е. эти критерии позволяют решать все 3 задачи сопоставлений - сравнение уровней исследуемого признака, оценки сдвигов в значениях исследуемого признака, а также сравнение распределений.

2. Критерий φ^* Фишера предназначен для сопоставления двух любых выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Он оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок по данному эффекту.

Суть углового преобразования состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле соответствует больший угол φ. Преобразование осуществляется по формуле

φ=2arcsin( ), где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы. Для нахождение углов φ составлены таблицы.

Графически этот метод означает следующее:

100% составляет угол φ=π, тогда процентные доли представлены как сектора с углами φ₁ и φ₂.

Критерий φ^* позволяет определить, действительно ли один из углов достоверно превосходит другой.

φ^*_эмп=( φ₁ - φ₂) , где φ₁ > φ₂.

φ^*_крит = const.

1,64 (р≤0,05)

φ^*_крит=

2,31 (р≤0,01).

Если φ^*_эмп>φ^*_крит, то Н₀ отвергается.

Гипотезы: Н₀ – доля лиц, у которых проявляется интересующий эффект в 1 выборке не больше, чем во 2.

Н₁ –доля лиц, у которых проявляется интересующий эффект в 1 выборке больше, чем во 2.

Ограничения. 1. Ни одна из долей не должна быть равной 0.

2. Объемы выборок 2≤n<∞. При этом соблюдаются следующие соотношения:

а) n₁ =2 - n₂≥30,

б) n₁ =3 - n₂≥7,

в) n₁ =4 - n₂≥5,

г) при n₁, n₂≥5 – любые сопоставления.

Пример. Различаются ли 2 группы студентов по успешности решения новой экспериментальной задачи, если в 1-й группе из 20 человек справились 12, а во 2-й – из 25 человек справились 10.

Решение.

	решили	не решили	суммы
1 гр.	12 (60%)	8	20
2 гр.	10(40%)	15	25
суммы	22	23	45

После нахождения процентных долей вопрос задачи можно задать по-другому: достоверно ли различаются эти процентные доли при данных объемах выборки?

Гипотезы: Н₀ – доля лиц, справившихся с задачей, в 1 группе не больше, чем во 2 группе.

Н₁ – доля лиц, справившихся с задачей, в 1 группе больше, чем во 2 группе.

По таблице находим φ_1(60%) = 1,772 и φ_2(40%)= 1,369.

φ^*_эмп=( 1,772 – 1,369) ≈ 1,34.

По оси значимости делаем вывод, что принимается гипотеза H₀ .

Н₀ р≤0,05 р≤0,01 Н₁

1,64 2,31

3. Биномиальный критерий m предназначен для сопоставления частоты встречаемости какого-либо эффекта с теоретической или заданной частотой его встречаемости.

Он позволяет оценить, насколько эмпирическая частота интересующего нас эффекта ПРЕВЫШАЕТ заданную частоту.

m_эмп = эмпирической частоте наблюдений, в которых есть интересующий нас эффект.

Применение этого метода существенно, если:

1) дана одна выборка, и ее надо исследовать в целом (а не делить на две части для применения критерия φ^*),

2) n≤30, что не позволяет применять критерий . Если же n>30, то используя критерий m, сэкономим время при подсчете .

Гипотезы: Н₀ – частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке не превышает теоретической (заданной, ожидаемой и др.) частоты.

Н₁ – частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке превышает теоретической (заданной, ожидаемой и др.) частоты.

Хотя критерий m и прост, но есть особенности его использования. Для сопоставления эмпирической частоты с теоретической при разных вероятностях исследуемого эффекта и в зависимости от гипотез выирают критерии, используя след. таблицу.

Заданная вероятность	Н1: fэ>fт		Н1: fэ<fт
	n	критерий	n	критерий
р<0,5 р=0,5 р>0,5	2≤ n ≤50 5≤ n ≤300 n≥30	m m	n≥30 5≤ n ≤300 2≤ n ≤50	G m

Для применения критерия сначала находим теоретическую частоту встречаемости эффекта по формуле f_т =nP, где Р заданная вероятность исследуемого эффекта, n – количество наблюдений в выборке.

m_эмп = f_эмп

По соотношению эмпирической и теоретической частот и заданной вероятности определяем по таблице к какому критерию относится данный случай сопоставлений. Если применим критерий m , то находим критические значения в таблице в зависимости от n и Р.

Ограничения:

1. n≥5,

2. n<50~300 (в зависимости от ситуации),

3. Р≤0,5, m – критерий позволяет проверить гипотезу лишь, что частота встречаемости интересующего нас эффекта превышает заданную вероятность Р.

4. В случае, когда Р>0,5 и f_э<f_т, гипотезы преобразуются в противоположные.

Пример 1. В тренинге профессиональных наблюдателей допускается, чтобы наблюдатель ошибался в оценке возраста ребенка не более чем на 1 год. Наблюдатель допускается к работе, если он совершает не более 15% ошибок.

А сделал 1 ошибку из 50 попыток, В – 15 ошибок из 50 попыток. Достоверно ли отличаются эти результаты от контрольной величины?

Решение. Найдем f_т = nР=50х0,15=7,5.

Получаем, что у А: f_э<f_т, а у В: f_э>f_т.

1. Рассмотрим ситуацию для В.

Гипотезы: Н₀ – количество ошибок у В не больше, чем предусмотрено контрольной величиной.

Н₁ – количество ошибок у В больше, чем предусмотрено контрольной величиной.

Р=0,15<0,5 и f_э>f_т. Применяем критерий m.

m_эмп = f_э=15.

Для n=50, Р=0,15, Q=0,85 находим в таблице

13 (р≤0,05)

S_кр=

15(р≤0,01)

По оси значимости делаем вывод, что с уровнем значимости р=0,01 принимается гипотеза H₁, т.е. ошибок у В больше, чем предусмотрено.

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

13 15

2. Рассмотрим ситуацию для А.

Гипотезы: Н₀ – количество ошибок у А не меньше, чем допустимо.

Н₁ – количество ошибок у А меньше, чем допустимо.

n =50, Р=0,15<0,5 и f_э<f_т. Применяем критерий χ².

Применяя критерий χ², сопоставим эмпирические частоты ошибочных и правильных ответов с теоретическими частотами, равными соответственно – 7,5 для ошибочных ответов и (50 – 7,5)=42,5 для правильных ответов. Т.к. признак имеет 2 разряда (ошибочные и правильные ответы), то ν=2-1=1, поэтому сделаем поправку на «непрерывность».

χ²_эмп= = + = 5,65.

3,84 (р≤0,05)

χ²_кр=

6,64 (р≤0,01)

По оси значимости делаем вывод, что принимается гипотеза H₁ с уровнем значимости р≤0,05.

Пример 2. (из 2-го вопроса об успешности решения задачи)

	решили	не решили	суммы
1 гр.	12 (60%)	8	20
2 гр.	10(40%)	15	25
суммы	22	23	45

Сопоставим процент успешности каждой группы со среднестатистическим процентом успешности решения этой задачи, который равен 55%.

Найдем теоретические частоты:

для 1 группы f_т= n₁Р=20 х 0,55=11,

для 2 группы f_т= n₁Р=25 х 0,55=13,75.

1. Для 1 группы. Р=0,55>0,5, f_э=12> f_т . Но т.к. n₁=20<30, то ни критерий m и ни χ² не применимы. Тогда используем критерий φ^*, но для этого необходимо знать, сколько испытуемых было в выборке, по которой определялся среднестатистический процент, φ^*_эмп=( φ₁ - φ₂) .

1. Для 2 группы. Р=0,55>0,5, f_э=10< f_т. Это последний случай таблицы, когда применим критерий m, но гипотезы переформулируем на противоположные. Эффектом будем считать не «успешность решения», а «нерешенность» задачи.

Тогда новая вероятность Р' = Q = 1 – 0,55= 0,45 <0,5.

f_э'=25 – 10 =15, f_т'= 25 – 13,75=11,25, f_э>f_т.

Получили первый случай применения критерия m по таблице.

Гипотезы: Н₀ – процент нерешенности задачи не превышает заданного процента неудач.

Н₁ – процент нерешенности задачи превышает заданный процент неудач.

m_эмп = 15, для n=25, Р'=0,45, Q'=0,55

16 (р≤0,05)

m _кр=

18 (р≤0,01)

По оси значимости делаем вывод, что принимается гипотеза H₀ – процент нерешенности задачи не выше заданного процента неудач, т.е. переходя к исходной задаче, получаем, что процент успешности решения задачи не ниже заданного процента.

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

16 18