3. Закон Джоуля-Ленца в интегральном и дифференциальном виде.

Если в проводнике течет постоянный ток и проводник остается неподвижным, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Опыт показывает, что в любом проводнике происходит выделение теплоты, равное работе, совершаемой электрическими силами по переносу заряда вдоль проводника. Если на концах участка проводника имеется разность потенциалов   , тогда работу по переносу заряда q на этом участке равна 

По определению I= q/t. откуда q= I t. Следовательно 

Так как работа идет па нагревание проводника, то выделяющаяся в проводнике теплота Q равна работе электростатических сил

(17.13)

Соотношение (17.13) выражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Введем плотность тепловой мощности   , равную энергии выделенной за единицу время прохождения тока в каждой единице объема проводника

где S - поперечное сечение проводника,   - его длина. Используя (1.13) и соотношение   , получим

Но   - плотность тока, а   , тогда

с учетом закона Ома в дифференциальной форме   , окончательно получаем

(17.14)

Формула (17.14) выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: объемная плотность тепловой мощности тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряженности электрического поля.

4. Электронная теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т.е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решётки металла. В отсутствие приложенного к проводнику электрического поля, такие свободные электроны – электроны проводимости – движутся хаотично. Через любое сечение проводника в одну сторону проходит столько же электронов, сколько и в противоположную. Если же к концам проводника приложить разность потенциалов, то на хаотическое движение электронов накладывается их упорядоченное движение, появляется преимущественное направление движения электронов. Положительные ионы, образующие кристаллическую решётку металла, препятствуют электронов. Между двумя последовательными соударениями с ионами решётки электроны движутся с ускорением и приобретают определённую энергию. В результате соударения электрон отдаёт частично или полностью накопленную энергию решётке кристалла. Поэтому при наличие тока металлы нагреваются. Количество выделившегося тепла dQ за время dt определяется законом Джоуля-Ленца.

Плотность тока j численно равна силе тока dI через площадку dS, расположенную перпендикулярно к направлению движения зарядов, отнесённой к величине этой площадки

Плотность тока, возникающего в металле под действием электрического поля с напряженностью , равна

Где n – концентрация электронов проводимости, e – заряд электрона, – средняя скорость упорядоченного движения электронов (скорость дрейфа). Плотность тока – вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости упорядоченного движения положительного заряда. Скорость дрейфа пропорциональна напряженности поля.

= .

Где = - называется подвижностью электронов ( - среднее время свободного пробега электрона между двумя последовательными соударениями с ионами). Иными словами, подвижность численно равна скорости дрейфа в поле с напряженностью, равной единице. Тогда можем выразить плотность тока:

Введём обозначение электропроводности , приходим к выражению закона Ома в дифференциальной форме

или , где – удельное сопротивление.

Соответственно, закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме принимает вид

Где dw – удельная мощность – количество теплоты, выделяющейся в единице объема проводника в единицу времени.

С увеличением температуры проводника тепловое движение ионов становится более интенсивным, среднее время свободного пробега электронов уменьшается, поэтому сопротивление металлов возрастает.

В первом приближении зависимость сопротивления от температуры можно считать линейной ), где опростивление проводника при температурах t и 0 соответственно, β – температурный коэффициент сопротивления, зависящий от материала проводника.

Для некоторых электротехнических сплавов (манганин, нихром, константан) этот коэффициент настолько мал, что им можно пренебречь и считать сопротивление независящим от температуры.

Температурный коэффициент сопротивления характеризует относительное изменение сопротивления проводника при изменении его температуры на 1 градус Цельсия. Для чистых металлов коэффициент изменяется настолько незначительно, что его можно считать постоянной величиной.