Приложение 1

Модель чистого обмена

Уравнения (1) - (4) представляют модель максимизации величины полезности «робинзона-II» при сохранении уровня благосостояния «робинзона-I» в ходе «чистого обмена». Функция Лагранжа рассматриваемой задачи будет иметь следующий вид:

(10)

Продифференцировав эту функцию по , , , , , и и приравняв полученные результаты нулю, получим условия первого порядка максимизации функции :

	(11)
	(12)
	(13)
	(14)
	(15)
	(16)
	(17)

Из уравнений (11) - (14) следует:

(18)

Первый и третий члены уравнения (18) представляют собой величины предельных норм замещения первым благом второго блага, соответственно, у «робинзона-I» и «робинзона-II». Их равенство друг другу означает, что исчерпание возможностей обмена, ведущего к максимизации уровня благосостояния «робинзона-II» при сохранении прежней степени удовлетворения потребностей «робинзона-I», происходит по достижении точки пересечения исходной кривой безразличия «робинзона-I» и контрактной кривой.

Приложение 2

Независимость распределения времени между производством обоих благ от изменения трудоемкости производства одного из них в случае, когда функция полезности имеет структуру функции Кобба - Дугласа

Функция Кобба - Дугласа имеет следующий вид: . Оказывается, что при наделении функции полезности структурой такой функции рассматриваемая нами модель изолированного хозяйствования приобретает следующее удивительное свойство: в случае изменения удельной трудоемкости производства одного из благ оптимальное распределение времени между их производством остается прежним. Соответственно, выпуск того блага, чья удельная трудоемкость не изменилась, останется таким же, как и был до этого; выпуск другого блага изменится пропорционально изменению трудоемкости его производства. Например, если трудоемкость производства второго блага у «робинзона-I» увеличится вдвое, то оптимальный выпуск им первого блага никак не изменится, а второго – сократится в два раза.

Приведем доказательство этого утверждения.

Пусть функция полезности задана формулой , общее время трудовой деятельности равняется , а удельная трудоемкость составляет, соответственно, и , где – некоторый произвольный множитель. Тогда задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию при соблюдении ограничения по времени производственной деятельности:

(19)

при ограничении

(20)

Функция Лагранжа будет иметь следующий вид:

(21)

Соответственно, частные производные функции Лагранжа по , и , приравненные к нулю, составят следующую систему уравнений:

	(22)
	(23)
	(24)

Решение этой системы уравнений дает следующие результаты:

	(25)
	(26)

Отсюда видно, что в условиях изолированного хозяйствования индивида, функция полезности которого имеет структуру функции Кобба – Дугласа, множитель оказывает влияние лишь на величину .

Этот вывод распространяется и на случай, когда производитель полностью специализируется на производстве блага, в выпуске которого он обладает сравнительными преимуществами (здесь – второго блага). Отличие заключается лишь в том, что формула (25) определяет количество потребляемого (а не производимого) второго блага, а формула (26), характеризующая количество поступающего через обмен первого блага, должна выглядеть следующим образом:

,

(27)

где - альтернативные издержки производства первого блага.