
Кузнецов Л. А / Дифференциальные уравнения. Кузнецов. 15 вариант
.pdf5 _ 05 _15
2 y2 dx+(x +e1/ y ) dy = 0, y |x=e =1
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2 dx |
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1/ y |
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2 y |
dy |
= −(x +e |
) |
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antiGTU |
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x = uv |
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||||
2 y2 (u 'v +uv ') = −uv −e1/ y |
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2 y2u 'v + 2 y2uv '+uv = −e1/ y |
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v(2 y2u '+u) + 2 y2uv ' = −e1/ y |
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2 |
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2 y |
2 du |
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= −u |
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− |
du |
= |
dy |
|
− |
ln u |
= − |
1/ 2 y |
|||||||||
2 y u ' = −u |
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||||||||||||||||||
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2 |
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||||||||||||||||||||||
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dy |
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u |
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2 y |
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2 |
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1 / y |
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2 |
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1/ y |
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2 y |
uv ' = −e |
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2 |
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1 / y |
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2 |
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1 / y |
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2 y |
uv ' = −e |
||||||||||||
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uv ' |
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||||||||||
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2 y |
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= −e |
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2 y |
uv ' = −e |
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u = e |
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u = e |
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1/(2 y) |
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u = e |
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1/(2 y) |
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(1) |
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1/(2 y) |
x = uv = e1/ y |
||||||||||
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= −e1/ y |
|
v ' = − |
e1/(2 y) |
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||||||||||||||||||
|
2 y2 e1/(2 y) v ' |
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2 |
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v = e1/(2 y) +C |
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|||||||||||||||||||
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2 y |
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y |x=e =1 C = 0 |
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x = e1/ y |
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1 |
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t =1/(2 y) |
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1 |
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||||||||||
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|
e |
2 y |
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||||||||||||
(1)∫− |
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dy = |
dt = |
|
−1 |
|
dy |
|
= ∫et dt = et +C = e |
2 y |
+C |
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||||||||||||||
2 y |
2 |
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|||||||||||||||||||||||
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с |
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||||||
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2 y |
2 |
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||||||||
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|||||
Скачано |
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|||||||||||||||||
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. |
ru |
+C e1/(2 y)
|
|
antiGTU |
. |
ru |
Скачано |
с |
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||
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5 _ 06 _15 |
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||||
y '− y = 2xy2 , y(0) =1/ 2 |
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|||||||||||||
− |
1 |
|
dy |
+ |
1 |
= −2x |
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|
du = x; du = dxantiGTU |
||||||||||||
y2 |
|
dx |
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|||||||||||||||
|
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|
y |
|
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|
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||||||||||||||
z =1/ y dz |
= − |
|
1 |
dy |
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||||||||||||||||||
|
y2 |
dx |
|
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|||||||||||
|
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|
|
|
dx |
|
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|||||
z '+ z = −2x |
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||||||||
z = uv |
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|||
u 'v +uv '+uv = −2x |
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|||||||||||
v(u '+u) +uv ' = −2x |
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|||||||||||
u ' = −u |
|
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|
du |
= −u |
du |
= −dx |
|
|
−x |
|
(1) |
−x |
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||||||||
|
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|
u = e |
|
|
u = e |
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||||||||||||||
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|
dx |
|
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|
u |
|
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|
− |
||||||
uv ' = −2x |
|
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v ' = −2xex |
v = 2ex (1 |
||||||||||||
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||||
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uv ' = −2x |
uv ' = −2x |
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||||||
z = uv = 2(1 − x) +Ce−x =1/ y |
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|||||||||||||||
y = |
1 = |
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|
1 |
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||
2(1 − x) +Ce−x |
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|||||||||||||
|
|
z |
|
|
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|||||||||||
y(0) =1/ 2 C = 0 |
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|||||||||||
y = |
1 |
|
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|||
2(1 − x) |
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||||||||
|
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|
|||||||
|
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|
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|
dv |
= ex dx |
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||
(1)∫−2xex dx = −2∫x ex dx = |
|
с |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
v = ex |
|
= −2 |
x |
ex − ∫ex dx |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
. |
ru |
x) +C
|
|
antiGTU |
. |
ru |
Скачано |
с |
|
|
|
|
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|
||
|
|
|
|

5 _ 08 _15 |
ru |
|
yy′= −2x , M (4, 2).
построимполенаправлений дляданногодиф. уравнения Изоклины, |
|||||||
|
|
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|
antiGTU |
|
|
соответствующиенаправлениямполяс угловымкоэффициентом |
|||||||
равнымk есть y = −x |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
2k |
|
|
|
|
интегральныекривыеимеютвид: |
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||||
y dy |
= − |
x |
|
|
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dx |
2 |
|
|
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2 y dy = −xdx |
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|||
2 y2 = −x2 +C |
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|||
2 y2 + x2 =C |
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|||
M (4,2) C = 24 |
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|||
те. . |
|
|
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|
2 y2 + x2 = 24 |
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|||
Скачано |
с |
|
|
|
|||
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|
antiGTU |
. |
ru |
Скачано |
с |
|
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|
||
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|
|

5 _ 09 _15 |
|
. |
ru |
|
|
||
M0 (1, −1), a : b =1: 3 |
|
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|
уравнениекасательной |
antiGTU |
|
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|
||
y −Y = y '(x − X ) |
|
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где(x, y) −координатыпроизвольной точкиискомой линии
по условию |
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KN |
= |
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a |
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|||||||||
|
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|
b |
|
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|
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|||||||||||||
|
|
|
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|
NM |
|
|
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|
|
|
xN |
|
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|
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|||||||||
+KON ~+NML |
|
KN |
|
= |
|
ON |
|
|
|
= |
a |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
NM |
|
NL |
|
|
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − xN |
|
|
|
|||||||||||||
точка N(xN ;0) принадлежиткасательной |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y = y '(x − xN ) bxN |
= ax −axN xN |
= |
|
|
a |
x |
||||||||||||||||||||||||||
a |
+b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a +b |
|
y ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
= |
|
b |
x |
dy |
|
= |
a +b |
|
|
y |
y =Cx |
a+b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y ' |
|
a +b |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M0 (1, −1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a : b =1: 3 C |
= −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y = −x4 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
antiGTU |
. |
ru |
Скачано |
с |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
yобщ |
= C1 +C2 e−x +C3ex |
|
|
|
|
|
|
|
ru |
|||||||
5 _12 _15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y '''− y ' = 3x2 −2x +1 − линейноенеоднородноедифференциальное уравнение |
|
|||||||||||||||
характеристическое уравнение |
|
antiGTU |
|
|
|
|||||||||||
k3 −k = 0 k = 0, k =1, k = −1 |
|
|
|
|
||||||||||||
общее решение линейногооднородногодифференциального уравнения |
|
|
||||||||||||||
частное решение линейногонеоднородногодифференциального уравнения. |
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|||||||||||||||
y = x(ax2 +bx +c) = ax3 +bx2 +cx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
час |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yчас |
= 3ax |
+ 2bx +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
′′ |
= 6ax + 2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
yчас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′′′ |
= 6a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yчас |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
′′′ |
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yчас |
− yчас |
= 3x |
−2x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6a −3ax2 −2bx −c −3x2 + 2x −1 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6a =1 +c |
6 (−1) =1 +c |
|
a = −1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a = 0 |
|
|
|
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−3(1 + a)x2 +(2 −2b)x +6a −c −1 = 0 1 |
a = −1 |
b =1 |
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= 2b |
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2 |
b =1 |
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c = −7 |
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y = x(−x2 + x −7) |
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час |
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y = y |
общ |
+ y = C +C |
e−x |
+C ex − x3 + x2 −7x |
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час |
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1 |
2 |
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3 |
с |
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Скачано |
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antiGTU |
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ru |
Скачано |
с |
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