Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5163 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)
Предмет:
Высшая математика
Файл:

Кузнецов Л. А / Дифференциальные уравнения. Кузнецов. 15 вариант

.pdf
Скачиваний:
53
Добавлен:
13.06.2014
Размер:
122.53 Кб
Скачать
☆

5 _ 05 _15

2 y2 dx+(x +e1/ y ) dy = 0, y |x=e =1

 

2 dx

 

 

 

 

1/ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

dy

= −(x +e

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

antiGTU

 

x = uv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y2 (u 'v +uv ') = −uv −e1/ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y2u 'v + 2 y2uv '+uv = −e1/ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(2 y2u '+u) + 2 y2uv ' = −e1/ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

2 du

 

= −u

 

 

 

−

du

=

dy

 

−

ln u

= −

1/ 2 y

2 y u ' = −u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

u

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 / y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1/ y

2 y

uv ' = −e

 

 

 

2

 

 

 

1 / y

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 / y

 

2 y

uv ' = −e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uv '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

 

= −e

 

 

2 y

uv ' = −e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = e

 

 

 

 

 

 

 

1/(2 y)

 

 

 

u = e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/(2 y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

1/(2 y)

x = uv = e1/ y

 

 

 

 

 

 

 

 

= −e1/ y

 

v ' = −

e1/(2 y)

 

 

 

 

 

 

2 y2 e1/(2 y) v '

 

 

 

 

2

 

 

v = e1/(2 y) +C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y |x=e =1 C = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = e1/ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

t =1/(2 y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)∫−

 

 

 

dy =

dt =

 

−1

 

dy

 

= ∫et dt = et +C = e

2 y

+C

 

 

 

 

 

 

 

2 y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

ru

+C e1/(2 y)

 

 

antiGTU

.

ru

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 
= −2ex (x −1)+C = 2ex (1 − x)+C Скачано

5 _ 06 _15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y '− y = 2xy2 , y(0) =1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

1

 

dy

+

1

= −2x

 

 

 

 

du = x; du = dxantiGTU

y2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

z =1/ y dz

= −

 

1

dy

 

 

y2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z '+ z = −2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = uv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 'v +uv '+uv = −2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(u '+u) +uv ' = −2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ' = −u

 

 

 

 

du

= −u

du

= −dx

 

 

−x

 

(1)

−x

 

 

 

 

 

u = e

 

 

u = e

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

−

uv ' = −2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v ' = −2xex

v = 2ex (1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uv ' = −2x

uv ' = −2x

 

 

 

 

 

 

 

z = uv = 2(1 − x) +Ce−x =1/ y

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

1 =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1 − x) +Ce−x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) =1/ 2 C = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(1 − x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

= ex dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)∫−2xex dx = −2∫x ex dx =

 

с

 

 

 

 

 

 

 

v = ex

 

= −2

x

ex − ∫ex dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

ru

x) +C

 

 

antiGTU

.

ru

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 _ 08 _15

ru

 

yy′= −2x , M (4, 2).

построимполенаправлений дляданногодиф. уравнения Изоклины,

 

 

 

 

 

antiGTU

 

 

соответствующиенаправлениямполяс угловымкоэффициентом

равнымk есть y = −x

 

 

.

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

интегральныекривыеимеютвид:

 

 

 

y dy

= −

x

 

 

 

 

 

dx

2

 

 

 

 

 

2 y dy = −xdx

 

 

 

 

2 y2 = −x2 +C

 

 

 

 

2 y2 + x2 =C

 

 

 

 

M (4,2) C = 24

 

 

 

 

те. .

 

 

 

 

 

 

 

2 y2 + x2 = 24

 

 

 

 

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

antiGTU

.

ru

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 _ 09 _15

 

.

ru

 

 

M0 (1, −1), a : b =1: 3

 

 

уравнениекасательной

antiGTU

 

 

 

y −Y = y '(x − X )

 

 

 

 

 

где(x, y) −координатыпроизвольной точкиискомой линии

по условию

 

KN

=

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xN

 

 

 

 

 

 

 

 

+KON ~+NML

 

KN

 

=

 

ON

 

 

 

=

a

 

 

 

 

NM

 

NL

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − xN

 

 

 

точка N(xN ;0) принадлежиткасательной

 

 

y = y '(x − xN ) bxN

= ax −axN xN

=

 

 

a

x

a

+b

a

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a +b

 

y '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

b

x

dy

 

=

a +b

 

 

y

y =Cx

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

y '

 

a +b

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0 (1, −1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a : b =1: 3 C

= −1

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −x4 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

antiGTU

.

ru

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yобщ

= C1 +C2 e−x +C3ex

 

 

 

 

 

 

 

ru

5 _12 _15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y '''− y ' = 3x2 −2x +1 − линейноенеоднородноедифференциальное уравнение

 

характеристическое уравнение

 

antiGTU

 

 

 

k3 −k = 0 k = 0, k =1, k = −1

 

 

 

 

общее решение линейногооднородногодифференциального уравнения

 

 

частное решение линейногонеоднородногодифференциального уравнения.

 

y = x(ax2 +bx +c) = ax3 +bx2 +cx

 

 

 

 

 

час

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yчас

= 3ax

+ 2bx +c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

= 6ax + 2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yчас

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′′

= 6a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yчас

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′′

 

′

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yчас

− yчас

= 3x

−2x

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6a −3ax2 −2bx −c −3x2 + 2x −1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6a =1 +c

6 (−1) =1 +c

 

a = −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ a = 0

 

 

 

 

−3(1 + a)x2 +(2 −2b)x +6a −c −1 = 0 1

a = −1

b =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

b =1

 

c = −7

y = x(−x2 + x −7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

час

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = y

общ

+ y = C +C

e−x

+C ex − x3 + x2 −7x

 

 

 

 

 

 

 

 

час

 

1

2

 

3

с

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

antiGTU

.

ru

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в папке Кузнецов Л. А
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности