Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 1-23

Решение

.

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка Будем

искать неизвестную функцию в виде

, где

antigtu

— новые неизвестные

функции. Тогда

. Подставляя данную замену в исходное уравнение получимru

;

Найдем функцию

из условия

:

;

с

;

Скачано

.

Проинтегрировав обе части равенства нах дим

, где — произвольная

постоянная. Поскольку в качестве

мы ищем любую функцию, для которой

, то

можем положить

. Тогда выразив получаем

.

Подставим найденную функцию

в

. С учетом того, что

получаем:

.

Выразим из последнего равенства

и проинтегрируем обе части равенства:

;

, где

— произвольная постоянная.

Таким образом, получили общее решение уравнения

ru

.

.

:

Из общего решения найдем функцию, удовлетворяющую условию

.

;

antigtu

;

Следовательно, решением задачи Коши является функция

Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 6-23

Условие задачи

Найти решение задачи Коши.

Решение

Найдем сначала общее решение дифференциального уравнения

с

представляет собой дифференциально уравнение Бернулли. Поделим обе части равенства на :

Скачано

Подставляя данную замену в

получим

Сделаем замену

. Тогда

Уравнение

ялвяется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать

в виде

, где

,

— новые неизвестные функции. Тогда

. Подставляя данную замену в

получим

;

Найдем функцию

из условия

:

;

;

ru

;

.

Интегрируя обе части равенства находим

где

— произвольная постоянная.

Поскольку в качестве

мы ищем любую функцию, для которой

, то можем положить

. Тогда выразив

получаем

.

Подставим найденную функцию в

. С учетом того, что

получаем:

Выразим из последнего равенства

и проинтегрируем обе части равенства:

;

с

antigtu

, где

— произвольная постоянная.

Скачано

. Вспоминая, что

,

Таким образом,

находим общее решение дифференциальн го уравнения

:

;

Из

найдем функцию, которая удовлетворяет условиям задачи Коши

:

;