Кузнецов Л. А / Дифференциальные уравнения. Кузнецов. 3 вариант

4 + y2

dx− y dy = x2 y dy− уравнениес разделяющимисяпеременными

4 + y2

dx = (x2 +1) y dy

1

dx =

y

dy

antigtu

.

x2 +1

4 + y2

∫

1

dx = ∫

y

dy

x2 +1

4 + y2

arctg x =

4 + y2

+C

arctg x −

4 + y2

= C

Скачано

с

y '

= 1 + y / x

−

antigtu

однородноедифференциальное уравнение

1 − y / x

y / x = u y ' = u ' x +u

u ' x +u =

1 +u

1 −u

du

x

=

1 +u2

− уравнениес разделяющимисяпеременными

dx

1

−u

1 −u

du

= dx

1 +u2

x

2u

∫(

1

− 1

) du = ∫dx

2

1

+u

2

1 +u

2

x

arctg u −

ln(1 +u2 )

= ln x

+C

2

arctg

y

−

ln(x2 + y2 )

= C

x

2

с

Скачано

.

ru

5 _ 03 _ 03

y ' =

3y − x −4

3x +3

замена

antigtu

x = u −1

y ' = v '

y = v +1

v ' =

3(v +1) −(u −1) −4

= 3v −u

3(u −1) +3

3u

v ' =

3v / u −1

−однородноедифференциальное уравнение

3

v / u = t v ' = t 'u +t

t 'u +t =

3t −1

dt

u = −1

3

− уравнениес разделяющимисяпеременными

du

3

∫−3dt = ∫du

u

C −3t = ln u

ln u +3

v

= C

с

u

y −1

ln(x +1) +

3

= C

x +1

Скачано

.

ru

y = uv y ' = u 'v +uv '

e−sin x

antigtu

u 'v +uv '+uv cos x = sin x cos x

v(u '+u cos x) +uv ' = sin x cos x

u ' = −u cos x

du

= −u cos x

du

= −cos x dx

dx

u

uv ' = sin x cos x

= sin x cos x

= sin x cos x

uv '

uv '

ln u = −sin x

u = e−sin x

= sin x cos x

uv '

uv ' = sin x cos x

=

e

−sin x

(1) u = e−sin x

u

e−sin x v ' = sin x cos x

v = esin x (sin x −1)+C

−sin x

y = uv = sin x −1 +Ce

C =1

y(0) = 0

y = sin x −1 +e−sin x

− решениезадачи Коши

(1) e−sin x v ' = sin x cos x v ' = sin x cos x = esin x sin x cos x v

= esin x

Скачано

с

(2)

dv = et dt

t = sin x

(2)

∫esin x sin x cos x dx =

= ∫et

t dt =

v = et

=

du = cos x dt

u = t; du = dt

∫

= et t −

et dt = et (t −1)+C = esin x (sin x −1) +C

.

ru

2x

y '+

2

= x

antigtu

y2

y

z =1/ y z ' =

−1

y '

y2

−2xz '+ 2z = x

z = uv z ' = u 'v +uv '

−2xuv '−2xu 'v + 2uv = x

u(−2xv '+ 2v) −2xu 'v = x

2v = 2xv '

dv

v = x

v = x

v = x

v = x

(1)

−1

−ln x

dx

−2xu 'v = x

=1

−2u ' x

=1

u ' =

u =

+C

2x

2

−2u 'v

z = uv = −x ln x

+Cx =1/ y

2

2

y =

2Cx − x ln x C =1/ 2

с

y(1) = 2

y =

2

=

2

x − x ln x

x(1 −ln x)

(1) v

= x dv

dv

= dx

∫dv

= ∫dx

ln v = ln x v = x

Скачано

v

x

dx

v

x

.

ru

5 _ 07 _ 03

(3x2 +4 y2 ) dx+(8xy +ey ) dy = 0

P(x, y)

= 3x2 +4 y2 P'

=8 y

y

Q(x, y)

=8xy +ey Q' =8y

antigtu

x

P'

= Q'

это уравнениеполныхдифференциалов

y

x

F(x, y) = ∫P dx +ϕ( y) = x3 +4xy2 +ϕ( y)

F' =8xy +ϕ' = Q ϕ' = ey ϕ = ey +C

x

x3 +4xy2 +ey = C

Скачано

с

.

ru

2xp ' = p

antigtu

dp

=

p

dx

2x

dp

=

1 dx

p

2

x

ln p =

ln x

+ln C

2

p = C

x = y ''

y ' = ∫y

''dx =

2 Cx3 / 2

+C1

3

y = ∫y 'dx =

4

Cx5 / 2

+C1 x +C2

15

Скачано

с

.

ru