3.5. Меры вариации, их сущность и роль.

Одной из важнейших задач статистики является измерение вариации статистического показателя. Одной из простейших мер вариации является размах или колеблемость варьирующего признака: - разность между самым и самым маленьким значением признака, но она не описывает вариацию признака внутри интервала [x_max; x_min].

Характеристикой, которая дает обобщенную характеристику ряда и гасит случайные отклонения значений признака, является средняя. Вокруг значения средней величины происходят колебания признака, для обобщения этих колебаний применяется средняя величина этих отклонений.

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение

Среднее линейное отклонение , используется при исчислении средней величины по формуле простой средней арифметической простой для несгруппированных данных, x_i – индивидуальное значение признака, - среднее значение признака, n – объем совокупности. Для сгруппированных данных применяется , т.е. при исчислении средней величины признака по формуле средней арифметической взвешенной, где x_i – отдельное значение признака в группе (для дискретных рядов) и середина соответствующего интервала (для интервальных рядов), - среднее значение признака, f_i – частота или частость группы.

При достаточно большом размахе величина линейного отклонения достигает или превышает среднее значение признака. При различии максимального и минимального значения признака на порядок или более, эта характеристика не описывает характер вариации. Для такого описания применяют средний квадрат отклонений от средней величины или дисперсию и среднее квадратическое отклонение, которое является корнем второй степени из дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение для несгруппированных данных.

- средний квадрат отклонений от средней или дисперсия, которая описывает структуру совокупности (дисперсия), - среднее квадратическое отклонение от средней величины признака, где x_i –индивидуальные значения признака, - среднее значение, n – объем совокупности.

Среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

- средний квадрат отклонений от средней или дисперсия. , среднее квадратическое отклонение от средней, где x_i –конкретное значение признака в группе для дискретных рядов и середина интервала для интервальных рядов, - среднее значение признака, f_i – численность или частота в группе.

Свойства дисперсии:

1. Если каждое значение признака изменить в к раз, то дисперсия изменится в к² раз;

2. Если каждое значение признака изменить на одно и то же число, то дисперсия не изменится

Такие характеристики вариации признака, как средняя величина и среднее квадратическое отклонение для интервальных рядов с равными интервалами, могут быть рассчитаны по способу моментов:

Среднее значение признака по способу моментов , Дисперсия по способу моментов ,

где А- условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h- шаг интервала, ( - середина интервала).

По характеру вариации признаки в статистике подразделяются на альтернативные, дискретные и непрерывные. К двум последним разновидностям относят количественные (числовые) признаки, для которых меры вариации представлены. Оценка вариации альтернативного признака (обладание или не обладание определенным свойством) – требует дополнительных построений. Пусть 1 – значение признака для единиц совокупности, обладающих изучаемым свойством, 0 – значение признака для единиц совокупности, необладающих изучаемым свойством, р – доля единиц, обладающих изучаемым свойством, q – доля единиц, необладающих изучаемым свойством, в результате получается зависимость , тогда среднее значение признака , а среднее квадратическое отклонение .

Рассмотрим пример: Пусть имеются следующие данные о результатах проверки качества деталей, известно, что 4% из них бракованные. Определить среднее квадратическое отклонение доли брака. Тогда:

, это означает, что среднее квадратическое отклонение доли брака составит 19,6%.

Величина коэффициента вариации говорит об однородности изучаемой совокупности, так, если вариация меньше либо равняется 33%, то совокупность считается однородной, в противном случае, следует осуществить перегруппировку. Формулы, используемые, для расчета среднего линейного отклонения – средняя арифметическая простая и взвешенная, для расчета среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации применяется формула средней квадратической.

Для выполнения оценки влияния вариации фактора, положенного в основании группировки, на вариацию результативного признака (результата) используется правило сложения дисперсий, в котором отражена общая вариация под влиянием всех фактором на базе общей дисперсии: , систематическая вариация результата под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки оценивается на базе межгрупповой дисперсии: , вариация под влиянием неучтенных факторов оценивается на базе средней из внутригрупповых дисперсий: средняя из внутригрупповых: , где - внутригрупповая дисперсия показывает вариацию внутри группы и рассчитывается: . Общая дисперсия, межгрупповая и средняя из внутригрупповых связаны равенством, представляющим собой правило сложения дисперсий: .

Эмпирическое корреляционное отношение показывает по шкале Чеддока силу связи между фактором и результатом, знак перед корнем показывает направление связи. Шкала Чеддока для определения силы связи между фактором и результатом

	До 0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	Заметная	сильная	очень сильная

Из таблицы видно, что . Тесноту связи между признаками показывает эмпирический коэффициент детерминации , выраженный в процентах (часть изменений результата под влиянием фактора).

Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней .

Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины .

Рассмотрим пример:

Стоимость 1 кв.м, $		Общая площадь квартир, кв.м
1033	1035	401
1035	1037	502
1037	1041	652
1041	1047	1501
1047	1051	1352
1051	1073	1052
1073	1095	982

Определить: среднюю стоимость квадратного метра жилья, дисперсию и однородность совокупности, оценить отклонение крайних значений от средней.

Так как данные сгруппированы, а стоимость жилья – группировочный признак, используется формула средневзвешенной для расчета средней стоимости квадратного метра жилья, общая площадь квартир – частоты. Тогда:

Стоимость 1 кв.м, $		Общая площадь квартир, кв.м	Si
1033	1035	401	401	1034	414634	134795,7721
1035	1037	502	903	1036	520072	133939,4156
1037	1041	652	1555	1039	677428	115929,1048
1041	1047	1501	3056	1044	1567044	104262,0018
1047	1051	1352	4408	1049	1418248	15031,55135
1051	1073	1052	5460	1062	1117224	98282,5087
1073	1095	982	6442	1084	1064488	984663,4165
Итого		6442			6779138	1586903,771

Средняя стоимость квадратного метра жилья =1052,334$, дисперсия =246,34, а среднее квадратическое отклонение =15,69$, расчет коэффициента вариации =15% показывает однородность совокупности. Отклонение крайних значений признака от средней: .

Представленные меры вариации, средние и другие показатели описывают общие закономерности изменений в вариационных рядах как для несгруппированных, так и для сгруппированных данных.