Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Кузнецов Л. А / Векторный анализ. Кузнецов. Вариант 14.pdf
Скачиваний:
44
Добавлен:
13.06.2014
Размер:
632.13 Кб
Скачать

Скачано с http://antigtu.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке

 

 

М по направлению проходящей через

эту точку нормали к поверхности S

, образующей острый угол с положительным

 

x |M = 0,6; y

|M

= 0;

 

z |M = 0;

 

 

 

 

antiGTU

 

 

направлением оси

Oz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = ln(1 + x2 + y2 ) -

x2 + z 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S : x2

- 6x + 9 y2 + z 2

= 4z + 23,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (3,0,-4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

= gradF(x, y, z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = x2 - 6x + 9 y2 + z 2

- 4z - 23,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gradF =

F

i +

F

 

j

+

F

 

k

= (2x - 6)i +18 y

j

- (2z - 4)

k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|M = 0i + 0

 

-12

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

=

02 + 02 + (-12)2

 

 

= 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

= 0; cos = 0, cos = -1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

 

U cos +

U cos +

 

U cos .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

 

 

 

2x

 

 

; U =

 

 

 

 

 

2 y

; U = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 + x2 + y2

 

 

y

 

 

 

1 + x2 + y2

z

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = 0,6 × 0 + 0 × 0 + 0 × (-1) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Скачано

 

antiGTU

.

ru

с

 

 

 

 

 

Задача 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

antiGTU

.

ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти поток векторного поля а через поверхности S , вырезаемую плоскостью P (нормаль

внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

 

a = xzi + yzj + (z2

-1)k, S : x2 + y2

= z2 (z ³ 0), P : z = 4.

 

 

 

 

 

P = òò

 

 

 

×

 

 

× dS =

òòax dydz + ay dxdz + az dxdy,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

сzdz òz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òòax dydz = òòxzdydz = òòz

 

 

 

 

 

 

dydz = ò4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 - y2

 

 

z2 - y2 dy =

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

−z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

æ

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

y

ö

z

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

=

ò

zç

 

 

 

z2 - y2

+

 

 

 

arcsin

÷

|

 

dz = 1

ò

z3 dz = 1 × 1 z4 | = 32 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

z

÷

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2 4 0

 

 

 

0

è 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø −z

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

òòay dxdz = òò yzdxdz = òòz

 

 

 

 

 

dxdz = ò4

zdz òz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2 - x2

 

 

z 2

- x2 dx =

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

−z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

æ

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

x

ö

z

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ò

zç

 

 

z

2 - x2 +

 

 

 

arcsin

 

 

÷

|

dz =

 

ò

z3 dz =

× 1 z 4 | = 32 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

z

÷

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2 4 0

 

 

 

0

è 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø −z

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

òòaz dxdy = òò(z 2

-1)dxdz = òò(x 2

+ y 2

-1)dxdy =

2ò d òz

( 2 -1)d =

 

 

S

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

2 æ

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

− z

 

 

2

 

 

 

4

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

-

1

 

2

ö 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ò d ò(

 

- )d = òç

4

 

 

 

 

2

 

 

÷

|d

= 56 ò d =

56 × | = 112 ,

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø 0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

P = 32 + 32 +112 = 176 .

Задача 5

Задача 7

 

 

antiGTU

.

ru

Скачано

с