

Скачано с http://antigtu.ru |
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ru |
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Задача 1 |
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. |
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Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке |
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М по направлению проходящей через |
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эту точку нормали к поверхности S |
, образующей острый угол с положительным |
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¶x |M = 0,6; ¶y |
|M |
= 0; |
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¶z |M = 0; |
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antiGTU |
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направлением оси |
Oz . |
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u = ln(1 + x2 + y2 ) - |
x2 + z 2 , |
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S : x2 |
- 6x + 9 y2 + z 2 |
= 4z + 23, |
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M (3,0,-4). |
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N |
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= gradF(x, y, z). |
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F = x2 - 6x + 9 y2 + z 2 |
- 4z - 23, |
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gradF = |
¶F |
i + |
¶F |
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j |
+ |
¶F |
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k |
= (2x - 6)i +18 y |
j |
- (2z - 4) |
k |
. |
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¶x |
¶y |
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¶z |
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|M = 0i + 0 |
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-12 |
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, |
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N |
j |
k |
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N |
= |
02 + 02 + (-12)2 |
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= 12. |
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cos |
= 0; cos = 0, cos = -1. |
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∂U = |
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∂U cos + |
∂U cos + |
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∂U cos . |
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¶N |
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¶x |
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¶y |
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¶z |
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||||||||
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∂U = |
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2x |
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; ∂U = |
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2 y |
; ∂U = 0. |
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¶x |
1 + x2 + y2 |
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¶y |
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1 + x2 + y2 |
¶z |
с |
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¶U |
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¶U |
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¶U |
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|||||||||
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∂U = 0,6 × 0 + 0 × 0 + 0 × (-1) = 0. |
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¶N |
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Скачано |
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Задача 2
Скачано
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antiGTU |
. |
ru |
с |
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Задача 3 |
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antiGTU |
. |
ru |
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Задача 4 |
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Найти поток векторного поля а через поверхности S , вырезаемую плоскостью P (нормаль |
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внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = xzi + yzj + (z2 |
-1)k, S : x2 + y2 |
= z2 (z ³ 0), P : z = 4. |
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P = òò |
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× |
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× dS = |
òòax dydz + ay dxdz + az dxdy, |
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a |
n |
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S |
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Скачано |
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сzdz òz |
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S |
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òòax dydz = òòxzdydz = òòz |
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dydz = ò4 |
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z2 - y2 |
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z2 - y2 dy = |
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S |
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S |
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|
S |
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|
0 |
−z |
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|||
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4 |
æ |
|
y |
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|
z |
2 |
|
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|
|
|
|
|
y |
ö |
z |
|
|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
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|
4 |
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||||||
= |
ò |
zç |
|
|
|
z2 - y2 |
+ |
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|
arcsin |
÷ |
| |
|
dz = 1 |
ò |
z3 dz = 1 × 1 z4 | = 32 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 4 0 |
|
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|||||||||||||
|
0 |
è 2 |
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
ø −z |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
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|||||||||||||||||||||
òòay dxdz = òò yzdxdz = òòz |
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|
dxdz = ò4 |
zdz òz |
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z 2 - x2 |
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z 2 |
- x2 dx = |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
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|
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|
S |
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|
|
S |
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
0 |
−z |
|
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|
|
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|
|||
|
4 |
æ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
ö |
z |
|
|
|
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|
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||
= |
ò |
zç |
|
|
z |
2 - x2 + |
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|
arcsin |
|
|
÷ |
| |
dz = |
|
ò |
z3 dz = |
× 1 z 4 | = 32 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
÷ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 4 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
è 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø −z |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
òòaz dxdy = òò(z 2 |
-1)dxdz = òò(x 2 |
+ y 2 |
-1)dxdy = |
2ò d òz |
( 2 -1)d = |
|
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S |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
2 æ |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
− z |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
- |
1 |
|
2 |
ö 4 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
= ò d ò( |
|
- )d = òç |
4 |
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|
2 |
|
|
÷ |
|d |
= 56 ò d = |
56 × | = 112 , |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
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P = 32 + 32 +112 = 176 .

Задача 5
Задача 7
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antiGTU |
. |
ru |
Скачано |
с |
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