Скачано с http://antigtu.ru

ru

Задача 1

.

Найти производную скалярного поля u(x, y, z) в точке

М по направлению проходящей через

эту точку нормали к поверхности S

, образующей острый угол с положительным

¶x |M = 0,6; ¶y

|M

= 0;

¶z |M = 0;

antiGTU

направлением оси

Oz .

u = ln(1 + x2 + y2 ) -

x2 + z 2 ,

S : x2

- 6x + 9 y2 + z 2

= 4z + 23,

M (3,0,-4).

N

= gradF(x, y, z).

F = x2 - 6x + 9 y2 + z 2

- 4z - 23,

gradF =

¶F

i +

¶F

j

+

¶F

k

= (2x - 6)i +18 y

j

- (2z - 4)

k

.

¶x

¶y

¶z

|M = 0i + 0

-12

,

N

j

k

N

=

02 + 02 + (-12)2

= 12.

cos

= 0; cos = 0, cos = -1.

∂U =

∂U cos +

∂U cos +

∂U cos .

¶N

¶x

¶y

¶z

∂U =

2x

; ∂U =

2 y

; ∂U = 0.

¶x

1 + x2 + y2

¶y

1 + x2 + y2

¶z

с

¶U

¶U

¶U

∂U = 0,6 × 0 + 0 × 0 + 0 × (-1) = 0.

¶N

Скачано

Задача 3

antiGTU

.

ru

Задача 4

Найти поток векторного поля а через поверхности S , вырезаемую плоскостью P (нормаль

внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

a = xzi + yzj + (z2

-1)k, S : x2 + y2

= z2 (z ³ 0), P : z = 4.

P = òò

×

× dS =

òòax dydz + ay dxdz + az dxdy,

a

n

S

Скачано

сzdz òz

S

òòax dydz = òòxzdydz = òòz

dydz = ò4

z2 - y2

z2 - y2 dy =

S

S

S

0

−z

4

æ

y

z

2

y

ö

z

4

4

=

ò

zç

z2 - y2

+

arcsin

÷

|

dz = 1

ò

z3 dz = 1 × 1 z4 | = 32 .

ç

2

z

÷

2

2 4 0

0

è 2

ø −z

0

òòay dxdz = òò yzdxdz = òòz

dxdz = ò4

zdz òz

z 2 - x2

z 2

- x2 dx =

S

S

S

0

−z

4

æ

x

z

2

x

ö

z

1

4

1

4

=

ò

zç

z

2 - x2 +

arcsin

÷

|

dz =

ò

z3 dz =

× 1 z 4 | = 32 .

ç

2

z

÷

2

2 4 0

0

è 2

ø −z

0

òòaz dxdy = òò(z 2

-1)dxdz = òò(x 2

+ y 2

-1)dxdy =

2ò d òz

( 2 -1)d =

S

2

S

2 æ

S

2

0

− z

2

4

3

1

4

-

1

2

ö 4

= ò d ò(

- )d = òç

4

2

÷

|d

= 56 ò d =

56 × | = 112 ,

0

0

0 è

ø 0

0

0