Кузнецов Л. А / Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 15

Найти массу тела.

.

x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 9z2 ,

AntiGTU

x = 0, y = 0, (x ≥

0, y ≥ 0, z ≥ 0);

μ =10z.

Решение:

Перейдем к цилиндрической системе координат:

x = r cosϕ

ϕ

y = r sin

z = z

π / 2

3 2 / 5

4−r2

π / 2

3 2 / 5

4−r

2

M = ∫

dϕ ∫

r dr

∫ 10 z dz = ∫ dϕ

∫

r dr 5z2

|

=

0

0

r / 3

0

0

r / 3

π / 2

3 2 / 5

2

r2

π / 2

2

5r4

3

= ∫ dϕ

∫

5 r

4 −r

−

dr =

∫

dϕ 5 2r

−

|

=

9

18

0

0

0

0

Скачано

с

4

4

y = 3,

y = 4.

.

y = 3 x, y = 4ex ,

Решение:

AntiGTU

4

3 / y

4

3 / y

4

3

y

SD

= ∫∫dxdy = ∫dy ∫ dx = ∫dy(x)

y

=

∫

−ln

dy =

y

4

D

3

y

3

ln

3

ln

4

3

y

4

4

(1,2)

= ∫

dy −

∫ln

dy

= 3ln (4 / 3)− −1 +3ln

=1

y

4

3

3

3

(1)

4

3

4

= 3(ln 4 −ln 3)= 3ln (4 / 3)

∫

dy = 3ln

y

|

3 y

3

(2)

dv = dy

4

v = y

4

4

y

y

y 4

dy

y 4

∫ln

dy

=

u = ln

=

y ln

| − ∫y

y

= y l

|

− ∫dy =

4

3

4

dy

4 3

3

4 3

3

du =

1

1 dy =

с

y / 4

y

4

y

4

4

4

= y

ln

|

− y |

= −1 +3ln

4

3

3

3

Скачано

7 _ 07 _ 01

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

y2

−2 y + x2

= 0,

.

y2

−4 y + x2

= 0,

y = x

3 , y =

x.

Решение:

ntiGA TU

Два первых уравнения легко преобразовать к виду:

(y −1)2 + x2 =1

(y −2)2 + x2 = 4

Эти уравнения определяют окружности.

Введем полярную системукоординат:

x = r cosϕ

y = r sin ϕ

Окружность y2 −2 y + x2 = 0 имеет полярное уравнение

r2 sin2 ϕ −2r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0.

Откуда r = 2s n ϕ. Аналогично

y2

−4 y + x2

= 0 r2 sin2 ϕ −4r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0 r = 4s n ϕ.

Прямая y =

x

имеет полярное уравнение r sin ϕ = r cosϕ

.

3

3

Откуда tgϕ

= 1

3

ϕ =π

6

. Аналогично

y =

3x r sin ϕ =

3r cosϕ tgϕ =

3 ϕ

=π

3

Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:

S =

dxdy = π / 3 dϕ

4 sin ϕ rdr

=

π / 3 dϕ

r2

4 sin ϕ

=

π / 3

6s n2 ϕdϕ =

π / 3

6 1 −cos 2ϕ dϕ =

∫∫

∫

∫

∫

∫

∫

2

D

π / 6

2 sin ϕ

π / 6

2

π / 6

π / 6

Скачано

2 sin ϕ

π 3

sin

(2π

/ 3)

sin

π / 3

sin 2ϕ

π

π

=

∫

(3 −3cos 2ϕ)dϕ

= 3ϕ

−3

с

π

=

3

3

−3

2

−

3

6

−

3

π / 6

2

6

плотность. Найти массу пластинки.

.

D : x =1, y = 0, y2 = 4x (y ≥ 0);

ntiGTA U

μ = 7x2 + y.

Решение:

Из рисунка находим пределы интегрирования по x и y.

Сначала интегрируем по y, затем по x.

1

4 x

(7x2

1

y

2

4 x

1

MD = ∫∫μ(x, y)dxdy = ∫dx ∫

+ y)dy = ∫dx 7x2 y +

= ∫(2x +14x5 /

D

0

0

0

2

0

0

= (x2 + 4x7 2 )

1

= 5

0

с

Скачано

D : x2

+ y2

4 ≤1;

AntiGTU

μ = y2 .

Решение:

Обобщенная полярная сиситема координат:

x

= r cosϕ

(1)

= 2r sin ϕ

y

Якобиан перехода равен

∂x

∂x

−r sinϕ

cosϕ

∂ϕ

∂r

=

= 2r

∂y

∂y

2r cosϕ

2sin ϕ

∂ϕ

∂r

(1)

2π

1

2π

1

m = ∫∫m(x, y) dx dy =

∫dϕ∫2r 4r2 sin2 ϕdr = ∫s n2 ϕ dϕ∫8r3 dr =

D

0

0

0

0

2π 1 −cos 2ϕ

8r

4 1

ϕ

−

sin 2ϕ 2π

= 2π

= ∫

2

dϕ

4

|

=

2

4

| 2

0

0

0

2

с

Скачано

1

0

1

2

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

.

ru