Кузнецов Л. А / Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 15

D

AntiGTU

D : y = π , y =

π , x =1,

x = 2.

4

2

Решение:

Если при сведении двойного интеграла повторный интеграл взять по y, .

то для его вычисления придется дважды интегрировать по частям. Чтобы

избежать этого, сначала проинтегрируем по x, затем по y.

π / 2

2

π / 2

2

π / 2

1

∫∫2 y cos 2xy dxdy = 2 ∫

ydy∫cos 2xydx = 2

∫

ydy s n2xy

= 2

∫

y

(sin 4 y

2 y

D

π / 4

1

π / 4

2 y

1

π / 4

π / 2

cos 4 y

π / 2

cos 2 y

π / 2

= −

1

−

1

= −1

−

−

= ∫ (sin 4 y −sin 2 y)dy =

4

−

2

2

2

π / 4

π / 4

π / 4

Скачано

с

7 _ 04 _15

Вычислить:

.

∫∫∫y

2

πxy

cos

dx dy dz;

V

2

nAtiGTU

x

= 0,

y = −1, y = x,

V

= 0, z = 2π2 .

z

Решение:

Т.к. подынтегральная фунуция не зависит от z, интегрирование нужно начать

по переменной z, при этом пределы интегрирования по z равны 0 и 2π2 . Если

затем интегрировать по y, то придется дважды интегрировать по частям,

поэтомупроинтегрируем сначала по x, затем по y. Очевидно, что пределы

интегрирования по y будут -1 и 0, по x - y и 0.

∫∫∫y

2

πxy

0

y

2

0

πxy

2π2

2 0

y

2

2

s n

πxy

0

=

cos

dx dy dz =

∫

dy∫cos(

2

)dx ∫ dz = 2π

∫

dy

2

V

2

−1

y

0

−1

π y

y

= −2π

2

0

2 2sin(π y2 / 2)

0

(π y

2

−cos

π y2

0

= 4

∫y

π y

dy = −4π ∫y si

/ 2)dy = −4

2

−1

−1

−1

Скачано

с

7 _ 05 _15

Вычислить:

.

∫∫∫(x2 +3y2 ) dx dy dz;

V

ntiGTA U

V : z =10x, x + y =1,

x = 0, y = 0, z = 0.

Решение:

Область интегрирования представляет собой вертикальный цилиндр,

ограниченный снизуплоскостью z = 0, сверху - поверхностью z =10x.

Построим проекцию области интегрирования на плоскость Oxy. Пределы

интегрирования расставляем по рисунку.

1

1−x

10 x

1

1−x

+3y2 )dy =

∫∫∫(x2 +3y2 ) dx dy dz = ∫dx ∫

(x2 +3y2 )dy ∫

dz =10∫dx ∫ x(x2

V

0

0

0

0

0

1

1−x

1

2

+ x4 − 2 x5

1

=10∫xdx(x2 y + y3 )

=10∫(x

0

−3x2 + 4x3 −2x4 )dx =10 x

− x3

0

0

2

5

0

Скачано

с

32 − x2

= −4x

x2 −4x −32 = 0

x = 8

x = −4

S = ∫∫dxdy = ∫8

dx32∫−x2

dy = ∫8

dx(y)

32−4−xx2

= ∫8 (32 + 4x − x2 )dx =

D

−4

−4 x

−4

−4

AntiGTU

2

−

1

3

8

= 288

= 32x + 2x

3

x

−4

с

Скачано

.

ru

7 _ 07 _15

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

y2

−2 y + x2

= 0,

y2

−6 y + x2

= 0,

y = x

3 , x = 0.

Решение:

AntiGTU

Два первых уравнения легко преобразовать к виду:

(y −1)2 + x2 =1

(y −3)2 + x2 = 9

Эти уравнения определяют окружности.

Введем полярную систему координат:

x = r cosϕ

y = r sin ϕ

Окружность y2 −2 y + x2

= 0 имеет полярное уравнение

r2 sin2 ϕ −2r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0.

Откуда r = 2s n ϕ. Аналогично

y2

−6 y + x2

= 0 r2 sin2 ϕ −6r sin ϕ + r2 cos2 ϕ = 0 r = 6sin ϕ.

Прямая y =

x

имеет полярное уравнение r sin ϕ = r cosϕ

.

3

3

Откуда tgϕ

= 1

3

ϕ =π

6

. Аналогично

x = 0 r cosϕ = 0 cosϕ = 0 ϕ =

π

2

с

Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:

S =

∫∫

dxdy = π / 2 dϕ

6 sin ϕ rdr =

π

/ 2 dϕ

r2

6 sin ϕ

= π / 216s n2 ϕdϕ =

∫

∫

∫

∫

D

π / 6

2 sin ϕ

π / 6

2

π / 6

Скачано

2 sin ϕ

= (8ϕ + 4sin 2ϕ)

π

3

3

π

=16

+

≈11.84

π

8

6

6

.

ru

D : x = 1 , y = 0, y2

= 8x

(y ≥ 0);

AntiGTU

2

μ = 7x +3y2 .

Решение:

Из рисунка находим пределы интегрирования по x и y.

Сначала интегрируем по y, затем по x.

MD = ∫∫μ(x, y)dxdy =1/∫2 dx ∫8 x (7x +3y2 )dy =1/∫2 dx(7xy + y3 )

8 x =

D

0

0

0

0

=1/∫2 30 2x3 / 2 dx = (12 2x5 2 )

12 = 3

0

0

с

Скачано

.

ru

Якобиан перехода равен

ntiGTUA

∂x

∂x

2 cosϕ −2r sin ϕ

∂ϕ

∂r

=

= 2r

∂y

∂y

sin ϕ

r cosϕ

∂ϕ

∂r

(1)

π / 2

1

m = ∫∫m(x, y) dx dy =

∫ dϕ

∫2r 30 8r3 cos3 ϕ r7 sin7 ϕ dr =

D

0

0

π

π

=

π

/ 2

2

2

r

6

1

=

∫

cos3 ϕ sin7 ϕ dϕ ∫480 r5 dr = −∫cos3 ϕ d(cosϕ) 480

|

0

0

с

0

6

0

cos4 ϕ

π

=

−

2

80 = 20

4

|

0

Скачано

.

ru

x2 + y2 = 8, x = 2 y, x = 0,

z = 30 y 11,

z = 0.

AntiGTU

Решение:

.

2

8−y2

30 y /11

30

2

8

−

x

2

30

2

y2

∫∫∫

∫

∫

2

V =

∫

∫

∫

y dy =

∫

dx dy dz =

dy

dx

dz =

11

dx

11

2

|

dx =

G

0

2 y

0

0

x2

0

x

2

= 30

8 − x2 − x

dx = 30

8x − x

−

x

2

2

4

3

5

| =16

2

22

∫

22

4

3 20

0

0

Скачано

с