Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кузнецов Л. А / Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 2

.pdf
Скачиваний:
58
Добавлен:
13.06.2014
Размер:
2.48 Mб
Скачать

 

 

AntiGTU

.

ru

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 вариант решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 £ x2 + y2

+ z2 £ 64,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

x2 + y2

£ z £

x2 + y2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ntiGTA U

- 3x £ y £ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к сферической системе координат:

 

 

 

 

 

x = ρ cosϕ sinθ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ρ sin ϕ sinθ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = ρ cosθ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якобиан преобразования равен r 2 sinθ

 

 

 

 

 

 

 

 

0

arctg 15

 

 

 

8

 

 

0

 

 

 

arctg

15

 

r3 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dϕ

 

 

=

V = dϕ

 

sinθ × dθ ×r 2 dr =

 

s nθ × dθ ×

|

 

 

 

−π / 3

 

 

π / 3

 

 

 

2

 

 

−π / 3

 

 

π / 3

 

 

3 2

 

0

 

 

 

arctg 15

 

 

 

 

π

- cos arc g

 

ϕ

0

=

 

= 168

- cosθ

|

dϕ

= 168 cos

 

15

|

 

 

 

−π / 3

 

 

 

 

 

π / 3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

−π / 3

 

 

 

 

z = arctg

 

15, cos z =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

1

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 14π

 

 

 

 

 

=

tgz =

15

 

 

 

 

 

 

 

 

= 168

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + tg 2 z =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ru

7 _16 _ 02 _1

Тело V задано ограничивающими его поверхностями, μ - плотность.

Найти массу тела.

x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 1,

 

 

 

AntiGTU

(x2 + y2 £ 1), x = 0 ( x ³ 0);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ = 4

 

z

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем к цилиндрической системе координат:

 

 

 

x = r cos

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= r sin ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π / 2

1

4−r2

 

π / 2

 

1

 

4−r

2

π / 2

1

M = 2 dϕ r dr 4z dz = 2 dϕ r dr× 2z2

|

 

= 4 × dϕ × r × (4 - r

 

 

 

−π / 2

0

0

 

 

−π / 2

 

0

 

0

 

−π / 2

0

 

π / 2

 

 

r

4

1

π / 2

 

 

 

 

 

 

 

= 4 × dϕ × 2r 2

-

 

| = 4 ×

1, 75 × dϕ = 4 ×1, 75 ×π =

 

 

 

 

 

−π / 2

 

 

4 0

−π / 2

 

 

 

 

 

 

 

Скачано

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

ru

2 )dr =

7_16_02_2

 

 

.

ru

 

 

 

 

Скачано

с

AntiGTU