Добавил:

sava Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Кузнецов Л. А / Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.06.2014

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

7 _ 01 _ 02

Изменить порядок интегрирования

проектируем область D = D1 + D2 на ось Ox . При этом получим отрезок [-1;0],

1	0		2		0				.	ru
∫ dy ∫		f	dx + ∫ dy		∫		f dx
0	−	y	1	−	2− y	2
Решение:
Решение:

Построим области интегрирования первого и второго интегралов.
Сумма повторных интегралов равна двойному интегралу по области D = D1 + D2 .
Изменяем прядок интегрирования. Т.к внешнй интеграл теперь берем по x, то
								AntiGTU

концы которого дают пределы интегрирования по x : -1 и 0. Из уравнений линий

выражаем y через x. Для x = −				y : y = x2 ,			для x = −		2− y 2 : y = ± 2− x 2.
Т.к. рассмативаемая линия - верхняя половина окружности, то в полученной
зависмости выбираем знак "+":				y =+		x .
1	0	2	0			dx =	0	2− x 2
∫ dy	∫	f dx + ∫ dy	∫		f		∫ dx	∫	f dy
0	− y	1	− 2− y2		с		−1	x 2

Скачано

7 _ 02 _ 02						ru
7 _ 02 _ 02
Вычислить:					.
∫∫ (9x2 y2	+ 48x3 y3 )dxdy;				.
∫∫ (9x2 y2	+ 48x3 y3 )dxdy;
D				AntiGTU
D : x = 1,	y =	x ,	y = −x2 .	AntiGTU
D : x = 1,	y =	x ,	y = −x2 .
Решение:

Построим область интегрирования. Подынтегральная функция - многочлен по x,y,

поэтому ее легко интегрировать в любом порядке. Если в повторном интеграле внешний нтеграл взять по y, а внутренний по x, то область интегрирования придется разбивать на части, т.к. левая граница области интегрирования состоит из кусков двух

линий. Если же проинтегрировать сначала по y, затем по x, то область не нужно разбивать на части. В этом случае проецируем эту область на ось Ox, получаем отрезок [0;1],

значит, пределы по x равны 0 и 1. Пределы интегрирования по y: y = −x2 ,						y = x.
∫∫ (9x2 y2	1	x		1
∫∫ (9x2 y2	+ 48x3 y3 )dxdy = ∫ dx ∫ (9x2 y2		+ 48x3 y3 )dy = ∫ dx(3x 2 y3 + 16x3 y4 )			x =
D	0	− x2		0		− x2
						− x2

1				x9 − x12 )	1
1					1
== ∫ (3x7 / 2 + 12x5 + 3x8 − 12x11 )dx = (2			x9 2 + 2x6 + 1		= 2
0		3	3		0
Скачано		с
Скачано

7 _ 03 _ 02

Вычислить:

∫∫ y2 sin

dxdy;

ntAiGTU

D : x = 0, y = π , y =

Решение:

Если при сведении двойного интеграла повторный интеграл взять по y,

то для его вычисления придется дважды интегрировать по частям. Чтобы

избежать этого, сначала проинтегрируем по x, затем по y.

2 y

∫∫ y

dxdy = ∫

dy ∫ sin

dx = ∫ y

= ∫

− cos( y

))dy =

sin

dy −

cos

y cos y2 dy = ( y2 )

= ∫ 2 y(1 − cos y2 )dy = 2 ∫ ydy −

2 ∫

= π − 0 = π

− 2 s

Скачано

Вычислить:

7 _ 04 _ 02

∫∫∫ x2 z sin ( xyz )								dx dy dz;																											.
V
x = 2, y = π								, z = 1,
V		= 0, y = 0, z = 0.
x		= 0, y = 0, z = 0.
Решение:
Пределы интегрирования по y равны 0 и π , по z - 0 и 1, по x - 0																										и 2.
																										и 2.
		z sin ( xyz )							2			1	π					2				1				cos xyz						π
																																π

	2									2										2
∫∫∫ x								dx dy dz = ∫ x			dx∫ zdz∫ sin(xyz)dy = ∫ x										dx∫ zdz −												=
∫∫∫ x								dx dy dz = ∫ x			dx∫ zdz∫ sin(xyz)dy = ∫ x										dx∫ zdz −						xz						=
V									0			0	0					0				0					xz				0
2			1								2		1								2										0			1
	2				1																						s n π xz
	2				1																						s n π xz
= ∫ x		dx∫ z				(1		− cos(π xz))dz = ∫ xdx∫ (1 − cos(π xz))dz = ∫ xdx																	z	−										=

																												π x
0			0		xz						0		0								0							π x
2				sin π x				2	sin π x					x2		2		cosπ x					2					0						0
																																		0



= ∫ x(1 −							)dx = ∫ x −					dx =					− −							= 2 − 0			+			= 2
									π									π	2									π	2
																			2										2
0				π x				0						2		0							0
Скачано													с		AntiGTU
Скачано

7 _ 05 _ 02

Вычислить:

∫∫∫

dx dy dz

;

4(1− x / 3)ntiGTA U

1 +

V :

= 1,

x = 0, y = 0, z = 0.

Решение:

Строим область интегрирования и ее проекцию на плоскость Oxy.

Область интегрирования снизу ограничена плоскостью

= 1.

Последнее уравнение можно преобразовать к виду z = 8(1 − x / 3 − y / 4).

Это верхний предел интегрирования по z. Верхний равен 0. Пределы

интегрирования по y и x находим из вида проекции. y :

0 и 4(1 − x / 3).

x : 0 и 3.

dx dy dz

4(1− x / 3)

8(1− x / 3− y / 4)

∫∫∫

= ∫ dx

∫

1 +

3 4

		4(1− x / 3)									8								8(1− x / 3− y / 4)				3 4(1− x / 3)				1					8
																			8(1− x / 3− y / 4)

3
= ∫ dx ∫				dy	−																	= ∫ dx ∫				−		+	(1

												y				8 )	3										3				x			y
0			0				3 1 + x				+	y		+ z									0		0		3	3		+	x		+	y
							3 1 + x			3	+	4		+ z														3		+		3	+
								(		3		4							0													3
																с			0


3									16											3	16 * 3				4x − 24
= ∫ dx			− 1	y −														=		∫				+		dx =
																							2
											y	4 )	2								(x +	3)	2		9
0			3			3 1 + x				+	y									0	(x +	3)			9
						3 1 + x			3	+
							(		3						0
							2					3			0



			48	+ (2x − 24x)
=	−		48									= −8			− 6 + 16					= 2
=	−	( x + 3)										= −8			− 6 + 16					= 2
		( x + 3)						9
												0
Скачано

dy =

7 _ 06 _ 02 _1

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

x = 36 - y2 , x = 6 - 36 - y2

Решение:

ntiGTA U

Найдем точки пересечения окружностей:

- y

;

= 6

36 - y2

36 - y2 = 6 - 36 - y2

36 - y2

= 3

36 - y2

= 9

y = ±3

точки (3; -3

3 ), (3;3

3 )

36− y2

3 3

36− y2

(-6 + 2 36 - y2

)dy

S = 2SD

= 2∫∫ dxdy = 2 ∫ dy

∫

dx = 2 ∫ dy( x)

6− 36− y2

= 2 ∫

6−

36− y2

3 3

= -18

∫

dy +

∫

36 - y2

-3 3 +

∫

dy = 4 ×

- y2 dy

s n

2π

sin 2t 3

= - 36 3

+ 4 ×18

× t +

| = -36 3 + 72

= -36 3 + 24π + 36 ×

= 24

-18

Скачано

6sin t

dy = 6 cos t × dt

+ cos 2t

∫

36 - y2 dy =

36 - y2

= 6 cos t

= ∫ 36 × cos2 tdt = 36 × ∫

dt =

= 6sin t

t = 0

3 = 6sin t t

= π

sin

2π

sin 2t

18 ×

t +

| = 18 ×

7 _ 06 _ 02 _ 2			.	ru
7 _ 06 _ 02 _ 2
Скачано	с	AntiGTU
	с

7 _ 07 _ 02

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

− 4x + y2

= 0,

− 8x + y2

= 0,

y = 0, y = x

3 .

4 AntiGTUϕ

Решение:

Два первых уравнения легко преобразовать к виду:

( x − 2)2 + y2 = 4

( x − 4)2 + y2 = 16

Эти уравнения определяют окружности.

Введем полярную систему координат:

x = r cosϕ

y = r sin ϕ

Окружность x2

− 4x + y2 = 0 имеет полярное уравнение

r 2 sin2 ϕ − 4r cosϕ + r 2 cos2 ϕ = 0.

Откуда r = 4 cosϕ. Аналогично

− 8x + y2

= 0 r 2 sin2 ϕ − 8r cosϕ + r 2 cos2 ϕ = 0 r = 8cosϕ.

Прямая y = x

имеет полярное уравнение r s

ϕ = r cosϕ .

Откуда tgϕ = 1

ϕ = π

. Аналогично

y = 0 r sinϕ = 0 sinϕ = 0 ϕ = 0

Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:

π / 6

8 cos ϕ

π / 6

8 cos

/ 6

S = ∫∫ dxdy = ∫

dϕ

∫ rdr =

∫ dϕ

∫

24 cos2 ϕdϕ = (12ϕ + 6sin 2ϕ )

4 cos ϕ

cos

Скачано

= 3 3 + 2π

≈ 11.48

6 =

7 _ 08 _ 02

Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - поверхностная

плотность. Найти массу пластинки.

D : x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4,

AntiGTU

x = 0, y = 0 ( x ³ 0, y ³

0);

μ = ( x + y ) (x2 + y2 ).

Решение:

В двойном интеграле перейдем к полярным координатам:

x = r cosϕ

y = r sin ϕ

Получим:

r (sin ϕ + cosϕ )

π / 2

M D = ∫∫ μ ( x, y ) dxdy = ∫ dϕ ∫

rdr = ∫

(s nϕ + cosϕ ) dϕ(r )

= (- cosϕ + sin ϕ )

2 = 2

Скачано

7 _ 09 _ 02
Пластинка D задана неравенствами, μ - поверхностная плотность.				.
Найти массу пластинки.

D : 1 £ x2 9 + y2 4 £ 2;
y ³ 0,	y £	2	x;

μ = y	3
	x .

Решение:

Обобщенная полярная сиситема координат:

x = 3r cosϕ

y = 2r sin ϕ

Якобиан перехода равен

ntiGTA U

¶x

-3r sin ϕ

3cosϕ

¶ϕ

¶r

= 6r

¶y

2r cosϕ

2sinϕ

¶ϕ

¶r

π / 4

(1)

m = ∫∫ m(x, y) dx dy =

∫ dϕ ∫ 6r ×

tgϕ dr = ∫ dϕ ∫ r × tgϕ dr = ∫ tgϕ × dϕ ∫ r dr =

d (cosϕ )

r 2

= -∫

- ln

cosϕ

× |

× 4(2

-1) = - l

= ln 2

cosϕ

2 1

Скачано

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Кузнецов Л. А

#
13.06.20141.94 Mб43Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 15.pdf
#
13.06.2014626 Кб48Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 16.pdf
#
13.06.2014858.28 Кб49Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 17.pdf
#
13.06.2014482.62 Кб38Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 18.pdf
#
13.06.20143.21 Mб40Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 19.pdf
#
13.06.20142.48 Mб58Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 2.pdf
#
13.06.2014170.78 Кб48Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 20.pdf
#
13.06.2014601.62 Кб37Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 23.pdf
#
13.06.2014599.86 Кб35Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 25.pdf
#
13.06.20141.86 Mб48Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 3.pdf
#
13.06.20144.29 Mб40Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 6.pdf