
Кузнецов Л. А / Кратные интегралы. Кузнецов. Вариант 2
.pdf
7 _ 01 _ 02
Изменить порядок интегрирования
проектируем область D = D1 + D2 на ось Ox . При этом получим отрезок [-1;0],
1 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
. |
ru |
∫ dy ∫ |
f |
dx + ∫ dy |
|
∫ |
|
f dx |
|
|||
0 |
− |
y |
1 |
− |
2− y |
2 |
|
|
||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим области интегрирования первого и второго интегралов. |
|
|
||||||||
Сумма повторных интегралов равна двойному интегралу по области D = D1 + D2 . |
||||||||||
Изменяем прядок интегрирования. Т.к внешнй интеграл теперь берем по x, то |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AntiGTU |
|
|
концы которого дают пределы интегрирования по x : -1 и 0. Из уравнений линий
выражаем y через x. Для x = − |
y : y = x2 , |
для x = − |
2− y 2 : y = ± 2− x 2. |
||||||
Т.к. рассмативаемая линия - верхняя половина окружности, то в полученной |
|||||||||
зависмости выбираем знак "+": |
y =+ |
x . |
|
|
|||||
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
dx = |
0 |
2− x 2 |
|
∫ dy |
∫ |
f dx + ∫ dy |
∫ |
|
f |
∫ dx |
∫ |
f dy |
|
0 |
− y |
1 |
− 2− y2 |
с |
|
−1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Скачано |
|
|
|
|
|
|

7 _ 02 _ 02 |
|
|
|
|
ru |
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить: |
|
|
|
. |
|
|
∫∫ (9x2 y2 |
+ 48x3 y3 )dxdy; |
|
|
|||
|
|
|
||||
D |
|
|
|
AntiGTU |
|
|
D : x = 1, |
y = |
x , |
y = −x2 . |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
Построим область интегрирования. Подынтегральная функция - многочлен по x,y,
поэтому ее легко интегрировать в любом порядке. Если в повторном интеграле внешний нтеграл взять по y, а внутренний по x, то область интегрирования придется разбивать на части, т.к. левая граница области интегрирования состоит из кусков двух
линий. Если же проинтегрировать сначала по y, затем по x, то область не нужно разбивать на части. В этом случае проецируем эту область на ось Ox, получаем отрезок [0;1],
значит, пределы по x равны 0 и 1. Пределы интегрирования по y: y = −x2 , |
y = x. |
||||||
∫∫ (9x2 y2 |
1 |
x |
|
1 |
|
|
|
+ 48x3 y3 )dxdy = ∫ dx ∫ (9x2 y2 |
+ 48x3 y3 )dy = ∫ dx(3x 2 y3 + 16x3 y4 ) |
x = |
|||||
D |
0 |
− x2 |
|
0 |
|
|
− x2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
x9 − x12 ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
== ∫ (3x7 / 2 + 12x5 + 3x8 − 12x11 )dx = (2 |
x9 2 + 2x6 + 1 |
|
= 2 |
|
|||
0 |
|
3 |
3 |
|
|
0 |
|
Скачано |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

7 _ 03 _ 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru |
|||
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
∫∫ y2 sin |
xy |
|
dxdy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ntAiGTU |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
D : x = 0, y = π , y = |
x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если при сведении двойного интеграла повторный интеграл взять по y, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
то для его вычисления придется дважды интегрировать по частям. Чтобы |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
избежать этого, сначала проинтегрируем по x, затем по y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
xy |
π |
|
|
|
2 y |
xy |
|
π |
|
|
2 |
|
|
|
xy |
|
2 y |
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫∫ y |
2 |
|
dxdy = ∫ |
|
|
2 |
dy ∫ sin |
dx = ∫ y |
2 |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
2 |
− cos( y |
2 |
))dy = |
|||||||||
|
sin |
|
|
y |
|
|
|
dy − |
|
cos |
|
|
|
y |
|
(1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
D |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
y |
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
y cos y2 dy = ( y2 ) |
|
π |
|
|
|
y |
2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∫ 2 y(1 − cos y2 )dy = 2 ∫ ydy − |
2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
= π − 0 = π |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
− 2 s |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Скачано |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

∫∫∫ x2 z sin ( xyz ) |
dx dy dz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2, y = π |
, z = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V |
|
= 0, y = 0, z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пределы интегрирования по y равны 0 и π , по z - 0 и 1, по x - 0 |
и 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z sin ( xyz ) |
|
2 |
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
cos xyz |
|
|
π |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫∫∫ x |
|
dx dy dz = ∫ x |
|
dx∫ zdz∫ sin(xyz)dy = ∫ x |
|
dx∫ zdz − |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xz |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s n π xz |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= ∫ x |
|
dx∫ z |
|
(1 |
− cos(π xz))dz = ∫ xdx∫ (1 − cos(π xz))dz = ∫ xdx |
z |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
xz |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
sin π x |
2 |
sin π x |
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
cosπ x |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= ∫ x(1 − |
|
|
|
|
)dx = ∫ x − |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
= 2 − 0 |
+ |
|
|
= 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
2 |
|
π |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
π x |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Скачано |
|
|
|
с |
|
|
|
AntiGTU |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru

7 _ 05 _ 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
∫∫∫ |
|
|
|
|
dx dy dz |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
4 |
|
4(1− x / 3)ntiGTA U |
||||||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
V : |
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x = 0, y = 0, z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Строим область интегрирования и ее проекцию на плоскость Oxy. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Область интегрирования снизу ограничена плоскостью |
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1. |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||||
Последнее уравнение можно преобразовать к виду z = 8(1 − x / 3 − y / 4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это верхний предел интегрирования по z. Верхний равен 0. Пределы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования по y и x находим из вида проекции. y : |
0 и 4(1 − x / 3). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x : 0 и 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx dy dz |
|
|
|
|
3 |
4(1− x / 3) |
|
8(1− x / 3− y / 4) |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ dx |
∫ |
dy |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
4 |
|
|
x |
|
y |
|
z |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4(1− x / 3) |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8(1− x / 3− y / 4) |
|
3 4(1− x / 3) |
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ∫ dx ∫ |
dy |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ dx ∫ |
|
− |
|
+ |
(1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
8 ) |
3 |
|
|
3 |
|
x |
|
|
y |
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
3 1 + x |
|
+ |
|
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
3 |
+ |
|
+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
16 * 3 |
|
|
|
4x − 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ∫ dx |
− 1 |
y − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
+ |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
4 ) |
2 |
|
|
|
(x + |
3) |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
3 |
|
|
3 1 + x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
48 |
+ (2x − 24x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
− |
|
|
|
= −8 |
− 6 + 16 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru
dy =
)3
4

7 _ 06 _ 02 _1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 36 - y2 , x = 6 - 36 - y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ntiGTA U |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найдем точки пересечения окружностей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= |
36 |
- y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= 6 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
36 - y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 - y2 = 6 - 36 - y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
36 - y2 |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
36 - y2 |
= 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = ±3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки (3; -3 |
3 ), (3;3 |
3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
36− y2 |
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
36− y2 |
|
|
3 |
3 |
(-6 + 2 36 - y2 |
)dy |
|||||
S = 2SD |
= 2∫∫ dxdy = 2 ∫ dy |
∫ |
dx = 2 ∫ dy( x) |
|
6− 36− y2 |
|
= 2 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
6− |
36− y2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= -18 |
∫ |
dy + |
|
∫ |
|
36 - y2 |
|
|
|
|
|
|
-3 3 + |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
dy = 4 × |
|
36 |
- y2 dy |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
s n |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2t 3 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= - 36 3 |
+ 4 ×18 |
× t + |
|
2 |
|
|
| = -36 3 + 72 |
× |
3 |
+ |
|
3 |
|
|
= -36 3 + 24π + 36 × |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 24 |
-18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
6sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = 6 cos t × dt |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
+ cos 2t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
||||
∫ |
36 - y2 dy = |
36 - y2 |
|
= 6 cos t |
|
|
= ∫ 36 × cos2 tdt = 36 × ∫ |
dt = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= 6sin t |
t = 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 = 6sin t t |
= π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
sin |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
sin 2t |
|
3 |
|
|
|
π |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
18 × |
t + |
|
|
|
|
| = 18 × |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru
=
=

7 _ 06 _ 02 _ 2 |
|
|
. |
ru |
|
|
|
|
|
Скачано |
с |
AntiGTU |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|

7 _ 07 _ 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: |
|
|
|||||||||||||||
x2 |
− 4x + y2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
x2 |
− 8x + y2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = 0, y = x |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
4 AntiGTUϕ |
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Два первых уравнения легко преобразовать к виду: |
|
|
|||||||||||||||
( x − 2)2 + y2 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( x − 4)2 + y2 = 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эти уравнения определяют окружности. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Введем полярную систему координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x = r cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = r sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окружность x2 |
− 4x + y2 = 0 имеет полярное уравнение |
|
|
||||||||||||||
r 2 sin2 ϕ − 4r cosϕ + r 2 cos2 ϕ = 0. |
Откуда r = 4 cosϕ. Аналогично |
|
|
||||||||||||||
x2 |
− 8x + y2 |
= 0 r 2 sin2 ϕ − 8r cosϕ + r 2 cos2 ϕ = 0 r = 8cosϕ. |
|
|
|||||||||||||
Прямая y = x |
имеет полярное уравнение r s |
|
ϕ = r cosϕ . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Откуда tgϕ = 1 |
ϕ = π |
|
. Аналогично |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 0 r sinϕ = 0 sinϕ = 0 ϕ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
π / 6 |
8 cos ϕ |
π / 6 |
с |
|
|
8 cos |
ϕ |
π |
/ 6 |
|
|
π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
S = ∫∫ dxdy = ∫ |
dϕ |
∫ rdr = |
|
∫ dϕ |
r |
|
|
|
|
= |
∫ |
24 cos2 ϕdϕ = (12ϕ + 6sin 2ϕ ) |
|
||||
|
D |
0 |
|
4 cos ϕ |
|
0 |
2 |
cos |
|
|
0 |
|
|
0 |
|||
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 3 3 + 2π |
≈ 11.48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru
6 =

7 _ 08 _ 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - поверхностная |
|
. |
||||||||||
плотность. Найти массу пластинки. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D : x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, |
|
|
|
AntiGTU |
|
|
||||||
x = 0, y = 0 ( x ³ 0, y ³ |
0); |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
μ = ( x + y ) (x2 + y2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В двойном интеграле перейдем к полярным координатам: |
|
|
||||||||||
x = r cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = r sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получим: |
|
|
r (sin ϕ + cosϕ ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
π / 2 |
2 |
π / 2 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
M D = ∫∫ μ ( x, y ) dxdy = ∫ dϕ ∫ |
|
|
|
|
rdr = ∫ |
(s nϕ + cosϕ ) dϕ(r ) |
|
= |
||||
|
r |
2 |
|
0 |
||||||||
D |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= (- cosϕ + sin ϕ ) |
|
π |
2 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru

7 _ 09 _ 02 |
|
|
|
|
|
Пластинка D задана неравенствами, μ - поверхностная плотность. |
. |
||||
Найти массу пластинки. |
|||||
|
|||||
D : 1 £ x2 9 + y2 4 £ 2; |
|
||||
y ³ 0, |
y £ |
2 |
x; |
|
|
|
|
||||
μ = y |
3 |
|
|
||
x . |
|
Решение:
Обобщенная полярная сиситема координат:
x = 3r cosϕ
y = 2r sin ϕ
|
Якобиан перехода равен |
|
|
|
|
|
ntiGTA U |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
¶x |
¶x |
|
|
-3r sin ϕ |
3cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
¶ϕ |
|
¶r |
= |
|
|
= 6r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
¶y |
¶y |
|
2r cosϕ |
|
2sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
¶ϕ |
|
¶r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
2 |
4 |
|
2 |
||||
m = ∫∫ m(x, y) dx dy = |
∫ dϕ ∫ 6r × |
tgϕ dr = ∫ dϕ ∫ r × tgϕ dr = ∫ tgϕ × dϕ ∫ r dr = |
||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
3 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
π |
d (cosϕ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
r 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
= -∫ |
|
|
|
|
× |
4 |
|
|
| |
= |
- ln |
cosϕ |
× | |
|
× 4(2 |
-1) = - l |
|
2 |
= ln 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
cosϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru