Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Кузнецов Л. А / Дифференциальные уравнения. Кузнецов. Вариант 20.pdf
Скачиваний:
57
Добавлен:
13.06.2014
Размер:
1.15 Mб
Скачать

Скачано с http://antigtu.ru

Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 1-20

Условие задачи

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде

 

):

 

 

antiGTU

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

Подставляя в исходное уравнение

 

, получим:

 

Интегрируем обе части уравнения, получим:

 

 

 

Скачано

с

 

 

 

 

 

 

Задача Кузнецов Диффере циаль ые уравнения 2-20

 

Условие задачи

 

 

 

 

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

 

Решение

 

 

 

 

 

Поделим обе части равенства на

:

 

 

 

;

ru

 

.

 

 

 

 

.

ru

 

 

 

 

 

 

 

В последнем равенстве внесем под корень:

antiGTU

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

Поскольку удалось записать уравнение

 

в виде

 

, то данное уравнение —

однородное дифференциальное уравнение.

 

 

 

 

 

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию

где

. Тогда

уравнение

. Подставляя выражения

 

и через новую неизвестную функцию в

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

с

 

 

 

 

Из последнего уравнения выразим :

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

Как видим,

предст вляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим

переменные в

. Для этого умножим обе части равенства

на

:

 

Проинтегрируем обе части равенства

:

 

 

 

 

 

Интегралы в последнем равенстве могут быть легко вычислены (хотя вычисления и займут довольно таки много времени). Например, интеграл в левой части равенства вычисляется заменой переменной на косинус гиперболический, а интеграл в правой части равенства является табличным. В результате получим:

 

 

 

, где — произвольная постоянная

.

ru

Используя свойства логарифмов можем упростить выражение:

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Вспоминая, что

приходим к ответу:

 

 

 

или, если домножить на

обе части равенства:

 

 

 

Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 3-20

 

 

Условие задачи

 

 

antiGTU

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

 

 

 

Скачано

с

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данное уравнение подходящей заме ой координат может быть сведено к однородному уравнению.

Найдем точку пересече ия прямых

 

и

. Для этого необходимо

решить систему линейных лгебр ических уравнений:

 

Выразим из первого ур внения и подставим во второе уравнение системы:

Как видим, решением системы будут

,

. Сделаем замену

.

Геометрический смысл данной замены состоит в том, что мы переносим начало координат в точку

, и уравнения данных прямых в этой системе не имеют свободных членов. Тогда

,

,

,

и уравнение примет вид:

.

ru

 

 

 

 

 

;

 

 

antiGTU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В последнем уравнении вынесем из числителя и знаменателя

:

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку удалось записать уравнение

в виде

 

, то данное уравнение —

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

однородное дифференциальное уравнение. Оно может быть сведено к уравнению с

 

 

разделяющимися переменными если делать замену

, где

— новая неизвестная

 

Скачано

 

можем переписать как

 

 

 

функция. Тогда

 

и уравнение

 

 

 

Выразим из данного урав е ия

:

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

;

;

;

.

Разделим переменные в полученном уравнении. Для этого умножим обе части равенства на

. Заметим также, что

 

. Имеем:

.

ru

.

 

 

 

 

 

 

Проинтегрируем обе части равенства:

 

 

 

 

Интеграл в правой части равенства является табличным, и равен

. В левой части равенства

 

antiGTU

 

 

стоит интеграл от рациональной функции. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

.

Сумму в правой части равенства приведем к общему знаменателю, и приравняем числители дробей в полученном равенстве:

.

 

 

 

;

с

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

При

получаем

. При

 

:

— откуда находим

.

Следовательно,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

где

— произвольн я постоянная. Таким образом, из

вытекает равенство

 

 

Скачано

 

 

 

 

Возвращаясь к

согласно замене

 

 

 

.

ru

и по

, а затем переходя от , к переменным

 

формулам

,

получим

 

antiGTU

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

.

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В последних равенствах использовались свойства логарифмов.

 

 

 

Ответ: Общий интеграл имеет вид

 

 

где — произвольная

Скачано

 

 

 

 

 

 

постоянная.

 

 

 

 

 

 

 

Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 4-20 Условие задачи

Найти решение задачи Коши.

Решение

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем

искать неизвестную функцию в виде

где

,

— новые неизвестные

функции. Тогда

. Подставляя данную замену в исходное уравнение получим

;

Найдем функцию

из условия

 

:

 

 

ru

 

;

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

antiGTU

 

 

;

 

 

 

 

 

Проинтегрировав обе части равенства находим

— произвольная

 

, где

постоянная. Поскольку в качестве

мы ищем любую функцию, для которой

 

 

 

можем положить

. Тогда выразив получаем

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Подставим найденную функцию в

. С учетом того, что

 

получаем:

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Выразим из последнего равенства

и проинтегрируем обе части равенства:

 

 

 

;

 

с

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

,

Применим к полученному интегралу формулу интегрирования по частям, где

 

,

,

:

 

 

 

 

 

произвольная постоянная.

 

 

 

 

 

, где

 

 

 

 

 

 

Таким образом, получили общее решение уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Из общего решения найдем функцию, удовлетворяющую условию

 

:

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

;

.

ледовательно, решением задачи Коши является функция

то

Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 5-20 Условие задачи

Решить задачу Коши.

 

 

antiGTU

 

.

ru

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделим обе части уравнения

на

. Получим уравнение

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными

коэффициентами. Общее решение уравнения

будем искать в виде

 

 

, где

является общим решением соответствующего однородного уравнения, а

— частное решение

уравнения

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдём корни характеристического многочлена, соответствующего уравнению

 

 

:

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

, где

Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция

 

 

 

— произвольная постоянная. Частн е решениес

уравнения

будем искать в виде

 

 

 

. Т гда

 

 

. Подставляя

и

 

в уравнение

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

Приравнивая в

коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях равенства, получаем

систему линейных алгебраи еских уравнений для нахождения

и :

 

 

 

 

Решением данной системы являются

,

, и частное решение уравнения

имеет

вид

 

.