Скачано с http://antigtu.ru

.

.

ru

В последнем равенстве внесем под корень:

antiGTU

;

;

Поскольку удалось записать уравнение

в виде

, то данное уравнение —

однородное дифференциальное уравнение.

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию

где

. Тогда

уравнение

. Подставляя выражения

и через новую неизвестную функцию в

получим

;

с

Из последнего уравнения выразим :

Скачано

Как видим,

предст вляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим

переменные в

. Для этого умножим обе части равенства

на

:

Проинтегрируем обе части равенства

:

, где — произвольная постоянная

.

ru

Используя свойства логарифмов можем упростить выражение:

;

.

Вспоминая, что

приходим к ответу:

или, если домножить на

обе части равенства:

Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 3-20

Условие задачи

antiGTU

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Скачано

с

Решение

Найдем точку пересече ия прямых

и

. Для этого необходимо

решить систему линейных лгебр ических уравнений:

Выразим из первого ур внения и подставим во второе уравнение системы:

Как видим, решением системы будут

,

. Сделаем замену

.

, и уравнения данных прямых в этой системе не имеют свободных членов. Тогда

,

,

,

и уравнение примет вид:

.

ru

;

antiGTU

;

В последнем уравнении вынесем из числителя и знаменателя

:

;

Поскольку удалось записать уравнение

в виде

, то данное уравнение —

с

однородное дифференциальное уравнение. Оно может быть сведено к уравнению с

разделяющимися переменными если делать замену

, где

— новая неизвестная

Скачано

можем переписать как

функция. Тогда

и уравнение

Выразим из данного урав е ия

:

;

. Заметим также, что

. Имеем:

.

ru

.

Проинтегрируем обе части равенства:

Интеграл в правой части равенства является табличным, и равен

. В левой части равенства

antiGTU

;

с

;

;

При

получаем

. При

:

— откуда находим

.

Следовательно,

,

где

— произвольн я постоянная. Таким образом, из

вытекает равенство

Скачано

Возвращаясь к

согласно замене

.

ru

и по

, а затем переходя от , к переменным

формулам

,

получим

antiGTU

;

;

;

;

;

.

с

В последних равенствах использовались свойства логарифмов.

Ответ: Общий интеграл имеет вид

где — произвольная

Скачано

постоянная.

искать неизвестную функцию в виде

где

,

— новые неизвестные

функции. Тогда

. Подставляя данную замену в исходное уравнение получим

Решить задачу Коши.

antiGTU

.

ru

.

Решение

Разделим обе части уравнения

на

. Получим уравнение

или

Уравнение

представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными

коэффициентами. Общее решение уравнения

будем искать в виде

, где

является общим решением соответствующего однородного уравнения, а

— частное решение

уравнения

.

Найдём корни характеристического многочлена, соответствующего уравнению

:

;

Скачано

, где

Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция

— произвольная постоянная. Частн е решениес

уравнения

будем искать в виде

. Т гда

. Подставляя

и

в уравнение

получим

;

Приравнивая в

коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях равенства, получаем

систему линейных алгебраи еских уравнений для нахождения

и :

Решением данной системы являются

,

, и частное решение уравнения

имеет

вид

.