Скачано с http://antigtu.ru

Поскольку удалось записать уравнение

в виде

, то данное уравнение —

однородное дифференциальное уравнение.

ru

Введем в рассмотрение новую неизвестную функцию

, где

. Тогда

. Подставляя выражения

и через новую неизвестную функцию в

получим

уравнение

.

;

Из последнего уравнения выразим :

Как видим,

представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим

переменные в

. Для этого умножим обе части равенства

на

:

Проинтегрируем обе части равенства

:

с

antiGTU

таки много времени). Например, и

теграл в левой части равенства вычисляется заменой переменной

на косинус гиперболический, а и

теграл в правой части равенства является табличным. В

результате получим:

, где — произвольная постоянная.

Используя свойства логарифмов можем упростить выражение:

;

.

Вспоминая, что

приходим к ответу:

Скачано

или, если помножить на

обе части равенства:

antiGTU

.

ru

Задача Кузнецов Дифференциальные уравнения 9-30

Условие задачи

Найти линию, проходящую через точку

и обладающую тем свойством, что в любой ее точке

касательный вектор

с концом на оси

имеет проекцию на ось

, равную .

Решение

Скачано

с

где

- координаты произвольной

Уравнение касательной имеет вид:

точки искомой линии.

По условию задачи,

Т.к. точка

лежит

а касатель ой, то:

.

Подставляем найденное

в выраже ие

Получаем:

По условию задачи точ а

имеет координаты

и

Подставляем данные в последнее равенство и выражаем

Подставляем найденное

в

и получаем искомое уравнение:

.