1

−8x2 +2

3−12 y2 +5x2

1

−8x2 +2

ru

V = 2òdx ò dy

ò

dz = 2òdx ò dy(3 -12y2

+ 5x + 2 + 12y2 - 5x2 ) =

0

x2 −7

−2−12 y2 +5x2

0

x2 −7

1

−8x2

+2

1

.

= 2ò(5 + 5x - 5x2 )dx

ò

dy = 2ò(5 + 5x - 5x2 )dx(-8x2 + 2 - x2 + 7) =

0

x2 −7

0

= 2ò1 (5 + 5x - 5x2 )dx(-9x2 + 9) = 2 × 5 × 9ò1 (1 + x - x2 )(-x

2

+ 1)dx =

0

0

antiGTU

1

1

= 90ò(-x2 + 1 - x3 + x + x4 - x2 )dx = 90ò(-2x2 + 1 - x3 + x + x4 )dx =

0

0

2 x3 + x - 1 x4

1 x2

+ 1 x5 )

1

2

1 +

1

+ 1) =

= 90(-

+

= 90(-

+ 1 -

3

4

2

5

0

3

4

2

5

= 90 × -40 + 60 -15 + 30 + 12

= 90 ×

47

= 141

= 70,5

60

60

2

Задача Кузнецов Кратные интегралы 13-20

Вычислить объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

z = 49 − x2 − y2

z = 3

x2 + y2 = 33

Первое уравнение – сфера с радиусом R=7

Второе уравнение – плоскость.

Третье уравнение – цилиндр с радиусом R=

33

z

с

Скачано

у

х

x = cos

y = sin

z=z

x2 + y 2 = 2

Цилиндр: =

Сфера: z =

49 − 2

33

- 3

× 4

+ 3

× 7 )

0

-

3 +

3

) 2 = 4( 2

2

= 570 ru

= 4( 2

= 4( 2

+ 93) 2 = 4 ×

V = 42ò d

33

3

= 4ò2 d

39

(3 +

49 - 2 )d = 4ò2 d

33

(3 + 49 - 2 )d =

ò d

ò

dz

ò

ò

0

0

−

49−2

0

0

0

0

.

3

2

33

3

1

= 42ò d (

2

-

1 ×

(49 - 2 )3 )

= 42ò d (

× 33 -

(49 - 33)3

+

1 493 ) =

0

2

2

3

0

0

2

3

3

antiGTU

99

1

3

1

3

2

99

64

343

99

285

Задача Кузнецов Кратные интегралы 14-20

Найти объём тела, ограниченного поверхностями.

z = -16

é(x + 1)2 + y2 ù -1,

ë

û

z = -32x - 33

Найдём проекцию на ось ХОУ

-16((x + 1)2

+ y2 ) -1 = -32x - 33

-16(x2

+ 2x + 1 + y2 ) -1 = -32x - 33

-16x2 -32x -16 -16y2 -1 = -32x - 33

16x2 + 16y2

=16

/ ¸16

x2 + y2

=1 - Окружность с центром

(0;0)

R =1

Скачано

с

Перейдём к полярным координатам.

ìx = cos

Окружн сть x2 + y2

=1 запишется в виде: =1

í

î y = sin

0 £ £ 2

z = -16((x + 1)2 + y2 ) -1 = -16(x2

+ 2x + 1 + y2 ) -1 = -16(x2

+ y2

+ 2x + 1) -1 =

= -16( 2 + 2 cos + 1) -1 = -16 2 - 32 cos -17

z = -32x - 33 = -32 cos - 33

2

1

−16 2 −32 cos −17

2

1

(-16 2

V = ò d ò

d

ò

dz =

ò

d ò

d

- 32 cos -17 + 32 cos + 33) =

0

0

−32 cos −33

0

0

= ò d ò d (-16 2

+ 16) = -16

ò d ò ( 3

- )d = -16 ò d (1

4 - 1

2 )

1

=

2

1

2

1

2

0

0

0

0

0

4

2

0

= -16 × (

1

- 1) × 2 = -16 × (- 1) × 2 = 4 × 2 = 8

4

2

4

Задача Кузнецов Кратные интегралы 15-20

ru

Найти объём тела, заданного неравенствами.

36 £ x2 + y2 + z2 £ 100,

.

z ³ -

x2 + y2

,

antiGTU1

63

x

£ y £

3x.

3

Первое неравенство – пространство между сферами с радиусами R=6 и R=10.

Второе неравенство – нижняя часть конуса.

Третье неравенство – две плоскости, проходящие под углами соответственно

и

к плоскости

ХОУ.

6

3

Перейдём к сферическим координатам.

ìx = cos cos

ï

= sin cos

íy

ï

= sin

îz

10

10

V = ò3 d

ò2

ò2

1

d

ò 2 cos d = ò3 d

1

cos d ò 2d =

−arctg

6

− rctg

6

6

63

6

63

с

10

3

2

cos d × 1

1 (1000 - 216)

3

=

ò

d

ò

3

=

ò

d × sin

2

=

1

3

3