Оптимизационные модели
1.1. Общая формулировка оптимизационной модели. Оптимизационные модели представляют систему математических уравнений, линейных или нелинейных, подчиненных определенной целевой функции и служащих для отыскания наилучших (оптимальных) решений конкретной экономической задачи. Эти модели относятся к классу экстремальных задач и описывают условия функционирования экономической системы.
Оптимизационные модели могут носить детерминированный или стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных данных. Стохастические модели описывают случайные процессы, в которых результат всегда остается неопределенным.
Наиболее разработаны и практически более применимы детерминированные модели, использующие аппарат математического программирования.
Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, принимающей значения в пределах ограниченной условиями задачи области, и из ограничений, характеризующих эти условия.
В общем виде оптимизационную математическую модель можно представить в следующем виде:
Найти план
,
который max (min)
целевую функцию
(1.1)
при выполнении ограничений
(1.2)
где
и
- известные функции,
- заданные постоянные величины.
Вид целевой
функции
,
вид ограничений и специальные ограничения
на переменные (например, требования
целочисленности переменных) определяют
выбор метода математического
программирования для решения
оптимизационной задачи:
линейного программирования;
нелинейного программирования;
динамического программирования;
целочисленного программирования и т. д.
Мы остановимся на оптимизационных моделях, которые решаются методами линейного программирования, т. е. рассмотрим оптимизационные модели (1.1) - (1.2) у которых целевая функция и ограничения - линейные функции. Тогда оптимизационная математическая модель примет вид:
Найти план , который max (min) целевую функцию
(1.3)
при выполнении системы ограничений
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Множество планов
,
удовлетворяющих системе ограничений
(1.4) – (1.7), называется множеством допустимых
решений и обозначается
.
Допустимый план
,
доставляющий целевой функции (1.3)
экстремальное значение, называется
оптимальным.
Отметим, что
максимизация целевой функции
в области допустимых решений
эквивалентна задаче минимизации функции
«
»
в той же области:
.
Если все
ограничения задачи заданы в виде равенств
и на все переменные
,
наложено условие неотрицательности
,
то оптимизационная модель имеет
каноническую форму записи:
max
при ограничениях
.
Если ограничения заданы в виде неравенств, то оптимизационная модель имеет симметрическую форму записи:
max
при ограничениях
,
или
min
при ограничениях
.
Для аналитического
решения линейной оптимизационной
модели, в случае необходимости, ее
ограничения следует преобразовать к
каноническому виду, для чего переходят
от ограничений неравенств к равенствам,
введением дополнительных переменных
,
которые прибавляют к левым частям
ограничений неравенств. В целевую
функцию дополнительные переменные
вводятся с коэффициентами равными нулю.