Вариант № 13

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – прямоугольник A (–1, 0), B (0, 3), C (9, 0), D (8, –3).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью

.

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

.

№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

гиперболоид , сфера .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим координатам:

.

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Найти координату x_c центра масс тела, ограниченного указанными поверхностями:

.

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

.

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Найти массу материальной дуги линии при линейной плотности .

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(1, 1) и B(0, 0) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : и обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного

интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура L : полуокружность и ось OX составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)

Вариант № 14

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – треугольник A (0, –3), B (3, 0), C (5, –4).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью ,

D : треугольник O (0, 0), A (1, 2), B (2, 0).

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

.

№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

конус , параболоид .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим координатам:

.

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Найти координату x_c центра масс тела, ограниченного указанными поверхностями:

.

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

.

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

по кривой между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Найти массу материальной дуги линии при линейной плотности .

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(0, 0) и B(2, 4) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : и обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура L : квадрат составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)