Вариант № 9

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – ромб A (–2, 0), B (0, 3), C (2, 0), D (–3, 0).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью ,

D : треугольник A (1, 0), B (0, 1), C (1, 1).

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

.

№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

сфера , цилиндр .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим координатам:

.

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Приложения тройного интеграла в геометрии. Найти объём тела, ограниченного заданными

поверхностями: .

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

прямая между точками: A (1, 1, 1) и B (3, 0, 3).

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной замкнуты контуром, образованным указанными линиями: (кардиоида).

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(–3,8; –1) и B(1,2; 0), C(–3,8; 0) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : ломаная ABC и обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу

Грина (обход контура составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)

Вариант № 10

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – круговой сектор с центром в O (0, 0), концы дуги которого

A (–4, 3), B (4, 3).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью

.

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: (общая область).

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры – круговой сектор с центром

в O (0, 0), концы дуги которого A (1, 1), B (1, –1).

№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

конус , цилиндр .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим

координатам: .

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Приложения тройного интеграла в геометрии. Найти объём тела, ограниченного заданными

поверхностями: .

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

первый виток винтовой линии:

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной замкнуты контуром, образованным указанными линиями: (лемниската Бернулли).

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(0, –2) и B(2, 0) C(2, 0) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : и обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура составляет область, ограниченную контуром, слева).

ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)