Вариант № 25

№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области

интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:

.

№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле

, если D – ромб O (0, 0), A (1, 3), B (4, 4), C (3, 1).

№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью ,

D : треугольник A (2, 1), B (4, 0), C (2, –1).

№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:

.

№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной

заданными линиями: .

№ 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:

.

№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

сфера , плоскость .

№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область

интегрирования, и вычертить эту область: .

№ 10. Вычислить , если .

№ 11. Вычислить , сведением к однократному и двойному интегралам:

.

№ 12. Вычислить тройной интеграл , перейдя к цилиндрическим координатам:

.

№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:

.

№ 14. Найти момент инерции относительно оси OX тела, ограниченного данными поверхностями,

полагая , где - объёмная плотность тела: .

№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:

.

№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

лежащая в 1-ом квадранте.

(Перейти к полярным координатам, ).

№ 17. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой

между точками .

№ 18. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по линии

.

№ 19. Найти длину линии .

№ 20. Вычислить криволинейный интеграл между точками A(0, 0) и B(,), C(0, ) по различным путям интегрирования C₁ (отрезок AB) и C₂ : ломаная ABC и обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

№ 21. Вычислить криволинейный интеграл , применив формулу Грина (обход контура L : квадрат составляет область, ограниченную контуром, слева).