
- •Вариант № 1
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Вариант № 6
- •Вариант № 7
- •Вариант № 8
- •Вариант № 9
- •Вариант № 10
- •Вариант № 11
- •Вариант № 12
- •Вариант № 13
- •Вариант № 14
- •Вариант № 15
- •Вариант № 16
- •Вариант № 17
- •Вариант № 18
- •Вариант № 19
- •Вариант № 20
- •Вариант № 21
- •Вариант № 22
- •Вариант № 23
- •Вариант № 24
- •Вариант № 25
ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)
Вариант № 1
№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области
интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:
.
№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле:
,
если D
– прямоугольник A
(–1, 0), B
(3, 2),
C
(4, 0),
D
(0, –2).
№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью
.
№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:
.
№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной
заданными
линиями:
.
№ 6. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями:
(вне кардиоиды).
№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
сфера
,
плоскость
.
№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область
интегрирования,
и вычертить эту область:
.
№ 10. Вычислить
,
если
.
№ 11. Вычислить
,
сведением к однократному и двойному
интегралам:
.
№ 12. Вычислить
тройной интеграл
,
перейдя к цилиндрическим координатам:
.
№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:
.
№ 14. Приложения тройного интеграла в геометрии. Найти объём тела, ограниченного заданными
поверхностями:
.
№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:
.
№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
.
№ 17. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по кривой
между точками
.
№ 18. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по линии
.
№ 19. Найти работу,
производимую силой
вдоль пути L:
прямая от A(0,
2, –1) до B(2,
1, 0).
№ 20. Вычислить
криволинейный интеграл
между точками A(0,
0) и B(4,
2),
C(2, 0) по различным путям интегрирования C1 (отрезок AB) и C2 : ломаная ABC и
обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования.
№ 21. Вычислить
криволинейный интеграл
,
применив формулу
Грина (обход
контура
составляет
область, ограниченную контуром, слева).
ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)
Вариант № 2
№ 1. Для данного повторного интеграла написать уравнения кривых, ограничивающих области
интегрирования, вычертить эти области и поменять порядок интегрирования:
.
№ 2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле
, если D – треугольник O (0, 0), A (2, 2), B (4, –2).
№ 3. Вычислить массу пластины D с поверхностной плотностью
.
№ 4. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями:
.
№ 5. Переходя к полярным координатам вычислить интеграл по области D, ограниченной
заданными
линиями:
.
№ 6. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 7. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями:
.
№ 8. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
параболоид
,
цилиндр
.
№ 9. Для данного интеграла написать уравнения поверхностей, ограничивающих область
интегрирования,
и вычертить эту область:
.
№ 10. Вычислить
,
если
.
№ 11. Вычислить
,
сведением к однократному и двойному
интегралам:
.
№ 12. Вычислить
тройной интеграл
,
перейдя к цилиндрическим координатам:
.
№ 13. Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферическим координатам:
.
№ 14. Приложения тройного интеграла в геометрии. Найти объём тела, ограниченного заданными
поверхностями:
.
№ 15. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода по ломаной ABC:
.
№ 16. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:
- верхняя половина
кардиоиды
.
№ 17. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по кривой
между точками
.
№ 18. Вычислить
криволинейный интеграл второго рода
по линии
.
№ 19. Найти работу,
производимую силой
вдоль пути
.
№ 20. Вычислить
криволинейный интеграл
между точками A(–1,
0) и B(0,
2)
по различным
путям интегрирования C1
(отрезок AB)
и C2
:
и
обосновать полученные результаты, используя условие независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования.
№ 21. Вычислить
криволинейный интеграл
,
применив формулу
Грина (обход
контура
составляет
область, ограниченную контуром, слева).
ТИПОВОЙ РАСЧЁТ (ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ)