1.46. Докажите, что .
Доказательство. Из условия задачи
следует, что
и
,
тогда
,
ч.т.д.
1.49. Докажите, что при любых значениях
переменной, выражение
принимает положительные значения.
Доказательство.
1 способ.
.
Заметим, что
,
а
,
т.к. дискриминант соответствующего
квадратного уравнения отрицательный,
а старший коэффициент положительный.
Значит,
при любых значениях
,
как сумма положительного и неотрицательного
числа, ч.т.д.
2 способ.
при любых значениях
,
как сумма трех положительных слагаемых,
ч.т.д.
(Выражение
,
являясь неполным квадратом разности,
при любых значениях
принимает положительные значения).
1.50. При каких значениях
и
выражение
принимает наибольшее значение?
Решение.
.
Равенство достигается при
,
т.е. при
и
.
Ответ: при , .
1.51. Найдите наибольшее значение
выражения
и определите, при каких значениях
и
оно достигается.
Решение.
.
Так как
при любых значениях
и
,
то
.
Равенство достигается при и .
Ответ: 10; при , .
1.53. Чему равно наибольшее значение
произведения
,
если
и
?
Решение. Так как
,
то
.
При
каждый из множителей выражения
принимает положительные значения.
Тогда, используя неравенство между
средним арифметическим и средним
геометрическим, получаем
.
Равенство достигается при
,
т.е.
.
Ответ: 6.25.
1.59. Между какими соседними целыми
числами заключено значение выражения
?
Решение.
.
Так как
,
то
;
;
.
Ответ: между числами 1 и 2.
1.60. Найдите наименьшее значение
выражения
и укажите пары значений
и
,
при которых оно достигается?
Решение.
Очевидно,
при всех допустимых значениях
и
.
Равенство достигается, когда оба
слагаемых одновременно равны нулю, т.е.
когда
и
являются решением системы
;
;
;
;
.
Ответ: 0; при
,
.
2. Уравнения и системы уравнений..
2.3. Решите уравнение
.
Решение. ;
;
;
или
;
или
;
или
.
Ответ: -3;
2.6. Решите уравнение
.
Решение. Пусть
,
тогда
;
или
.
Вернемся к старой переменной.
1)
;
или
.
2)
-
корней нет.
Ответ:
2.8. Решите уравнение
.
Решение. ;
1 Способ. .
;
;
;
или
.
Оба корня удовлетворяют неравенству
системы.
Ответ: -3;
.
2 способ. О.О.У.
и
.
На области определения имеем
;
;
;
;
или
.
Оба значения входят в область определения
уравнения.
Ответ: -3; .
3 Способ. ;
;
;
; или .
Проверка: 1)
;
;
;
-
верно, значит
-
корень уравнения.
2)
;
;
-верно,
значит -3- корень уравнения.
Ответ: -3; .
2.21. Вычислите координаты точек
пересечения парабол
и
.
Решение. Абсциссы точек пересечения
парабол являются корнями уравнения
;
;
;
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Значит, параболы имеют две точки
пересечения, координаты которых
и
.
Ответ: ; .
2.22. Решите уравнение
.
Решение. .
1) Так как 1-25+60-36=0, то 1 – корень исходного уравнения.
.
2)
.
Так как
- верно, то 2 – корень этого уравнения.
.
3)
;
или
.
Ответ: -6; 1; 2; 3.
2.30. Найдите все целые значения
,
при которых уравнение
имеет два корня.
Решение. При
имеем
;
- это уравнение имеет один корень.
При
исходное уравнение квадратное. Оно
имеет два корня тогда и только тогда,
когда
.
.
Решим систему
;
;
;
;
;
.
Это множество содержит четыре целых числа: -2; -1; 1; 2.
Ответ: -2; -1; 1; 2.
2.31. При каком значении
уравнение
имеет два корня? Найдите эти корни.
Решение.
;
;
или
.
Исходное уравнение может иметь два корня в двух случаях.
Уравнение имеет один корень, отличный от нуля, т.е. если
- полный квадрат, значит,
.
.
Тогда
.Один из корней уравнения равен нулю, а другой отличен от нуля, значит,
.
;
;
или
.
Ответ: 0 и -3 при ;
0 и -6 при .
2.32. При каких значениях
уравнение
имеет корни?
Решение. 1 способ.
;
.
Это квадратное уравнение имеет корни,
если
.
.
при
,
т.е.
.
Ответ: при всех .