2. Метод итерированных ядер (малого параметра) для решения неоднородного интегрального уравнения Фредгольма и интегрального уравнения Вольтерра II рода.

Методы решения интегральных уравнений определяются, как правило, структурой ядра этого уравнения. Однако существуют и универсальные методы, к числу которых относится метод итерированных ядер (о методе определителей Фредгольма см., напр. в ).

Для решения ИУФ I рода (2.1) применяется следующий алгоритм :

а) строится последовательность итерированных ядер:

б) вычисляется резольвентное ядро Фредгольма (РЯФ) (2.2); данный ряд сходится в круге (2.2);

в) решение уравнения (2.1) находится по формуле

.

Указанное решение существует не только при условии (2.2), т.к. условие это является достаточным, но не является необходимым. В общем случае решение уравнения (2.1) продолжается на всю комплексную плоскость, за исключением тех , для которых не является собственным значением оператора K. Аналогичные формулы используются для решения ИУВ II рода . (2.3) :

a)

б) ;

в) .

Замечание1. В случае уравнения (2.1) функция аналитична в круге , а в случае (2.3) - аналитична во всей комплексной плоскости .

Замечание2. Уравнение (2.3) разрешимо для любой правой части f L₂[a,b], для любого C единственным образом.

Замечание3. Формулу для вычисления в подавляющем большинстве случаев установить невозможно. Поэтому , при решении практических задач ряд (2.2) заменяют конечной суммой с учетом заданной точности , в результате чего получается приближенное решение уравнения .

Пример2.1 Решить уравнение .

Решение.

Очевидно, что при и эта оценка более точная, т.к. - полюс .

Пример 2.2 Решить уравнение .

Решение. - ЯВ;

Таким образом, и ,

Упражнения. Решить уравнение вида (2.1) (табл. 2.1) и уравнение вида (2.3) (табл. 2.2).

Табл. 2.1 Табл. 2.2

№	[a,b]	K(t,s)	f(t)	№	K(t,s)	f(t)
2.1	[0,1]			2.11
2.2	[-1,1]			2.12
2.3	[0, ]			2.13
2.4	[0, ]			2.14
2.5	[0,1]			2.15		1
2.6	[- , ]			2.16
2.7	[-1,0]			2.17
2.8	[0, ]			2.18
2.9	[0,1]			2.19
210	[-1,1]			2.20

Ненулевые ЯФ и называются делителями нуля, если или . Если в этом случае , то РЯФ вычисляется по формуле , где – РЯФ, построенное для

Упражнения. Решить уравнение вида (2.1).

Табл. 2.3.

№	[a,b]		f(t)
2.21	[-1,1]
2.22	[0, ]
2.23	[0,1]
2.24	[0, ]
2.25	[0, ]
2.26	[0, ]

Если ,,где , то определив функцию как решение задачи Коши в точке :

(2.4)

можно найти РЯФ по формуле (см., напр., [6,8]) . (2.5)

В случае , формула для вычисления РЯФ имеет вид: , где - решение задачи Коши в точке :

Пример 2.3 Найти РЯФ уравнения .

Решение. В нашем случае .

Задача Коши (2.4) имеет вид :

Решая характеристическое уравнение находим, что , где и вычисляем из системы

Т.о., по формуле (2.5)

.

Упражнения. Вычислить указанным образом РЯФ и решить ИУВ рода (2.3) ( ).

Табл. 2.4.

№			№
2.27			2.30
2.28			2.31
2.29			2.32