МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

Кафедра алгебры и функционального анализа

Третьяков Д.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КУРСУ

« ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ »

(часть I)

для студентов III и IV курсов дневной и заочной форм обучения

и экстерната специальностей 6.080100 «математика»,

6.080200 «прикладная математика», «информатика»

учебно-квалификационного уровня «бакалавр»

профессиональных направлений подготовки

0801 «математика» и 0802 «прикладная математика»

Симферополь 2004

Печатается по решению научно –

методического совета ТНУ

от 28.03.03

Введение

В методических указаниях рассмотрены основные методы решений интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра, предусмотренные университетской программой. Указания состоят из 10 разделов, каждый из которых содержит небольшой теоретический обзор по данной теме, решения типовых задач и заданий для самостоятельного выполнения. Для удобства весь текст методических указаний разбит на 3 части. Первая часть содержит следующие темы:

1. Предварительные сведения. Классификация интегральных уравнений.

2. Метод итерированных ядер (малого параметра)для решения неоднородных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра II рода.

3. Решение интегральных уравнений Фредгольма II рода с вырожденными ядрами (метод констант).

4. Однородные интегральные уравнения Фредгольма II рода с симметрическими ядрами.

В каждой части пособия приведен также список кратких обозначений.

Набор текста пособия производили Кирюшкина, С.Н. Сарачева А. С. и Лебедева Е. В.

Список кратких обозначений

ИПЛ – интегральное преобразование Лапласа;

ИУ – интегральное уравнение;

ИУВ – ИУ Вольтерра;

ИУФ – ИУ Фредгольма;

ОВ – оператор Вольтерра;

РЯФ – резольвентное ядро Фредгольма;

СФ – собственная функция;

ХЧ – характеристическое число;

СЯ – симметрическое ядро;

ЯВ – ядро Вольтерра;

ЯФ – ядро Фредгольма.

1.Предварительные сведения. Классификация интегральных уравнений.

Пустьa,bR, (a<b) – фиксированные числа, D=[a,b][a,b] (в частности, может быть, что a = - или b = ).

Пусть L₂(D)- гильбертово пространство со скалярным произведением

и нормой . Любой элемент KL₂(D) называется ядром Фредгольма (ЯФ). Ядро вида называется произведением ЯФ. Так как , то и - ЯФ.

Последовательность ЯФ K₁=K , K₂= K₁K ,…, K_n=K_n-1K ,…называется последовательностью итерированных ядер для ЯФ K, (nN).

Ядро Вольтерра (ЯВ) – это ЯФ , равное нулю или при t < s или при t < s . ЯВ V₁ и V₂ называются однотипными , если V₁= V₂ = 0 или при t < s или при t > s. Произведение однотипных ЯВ (например, равных нулю при t < s ) вычисляется по формуле

_.

Оператор вида , К ─ ЯФ,

x  L₂[a,b], называется оператором Фредгольма (ОФ). Если K – ОФ с ЯФ K, то KL(L₂[a,b]) и . Пусть K и L – ОФ с ЯФ K и L соответственно. Тогда KL и LK –ОФ с ЯФ KL и LK . Отсюда Kⁿ – ОФ с ЯФ K_n (n ÎN ). Оператор K^* также является ОФ с ЯФ K^* ( сопряженное ЯФ, ). Аналогичными свойствами обладает оператор Вольтерра (ОВ):

. (1.1) Подробнее см. в [ 1,2,5,6] .

Интегральное уравнение вида называется неоднородным (однородным, если f = 0) интегральным уравнением Фредгольма (ИУФ) II рода (K - ЯФ, f L₂[a,b] - известная функция , C- параметр).

Уравнение вида – неоднородное (однородное, если f = 0) интегральное уравнение Вольтерра (ИУВ) II рода,

- ИУФ I рода,

-ИУВ II рода.

Число называется характеристическим числом (ХЧ) интегрального оператора (понятие ХЧ так же определяется и для произвольного ограниченного оператора), если уравнение имеет нетривиальное решение. Любое нетривиальное решение этого уравнения называется собственной функцией (СФ) оператора , отвечающей ХЧ , а число называется кратностью ХЧ . Множество всех ХЧ оператора обозначают через . Перечислим основные свойства множества , вытекающие непосредственно из определения:

1) для любого оператора ;

2) ;

3) .

Упражнения.

1. Пусть V₁ ,V₂ – однотипные ЯВ (обращаются в 0 при t>s).Найти V₁  V₂.

2. Положим D= [-a,a] [-a,a] .Пусть V₁ ,V₂ L₂(D) и V₁ =V₂=0 при |s|>|t| (при |s|<|t|) .Найти V₁  V₂.

3. Найти сопряженные операторы V^* (см.(1.1)) и V₁^*, где , x L₂[-a,a].

4. Пусть ,  L₂[a,b] ,  L₂[a,b] – ЯФ (mN-фиксировано). Найти формулу для вычисления K_n(t,s) , n N.

5. Получить расчетные формулы для в случае ИУВ .