- Статистика

Позволяет проверить гипотезу о равенстве нулю сразу первых значений коэффициентов корреляции (нулевая гипотеза)

Существует несколько видов этой статистики:

– статистика Бокса-Пирса (6)

– статистика Льюнга- Бокса (7)

В Eviews сообщается значение статистики Льюнга – Бокса.

Если не базироваться на ARMA спецификации модели, то соответствующие величины имеют распределение с степенями свободы.

Если уже работаем в классе ARMA – моделей (диагностика свойств остатков), то распределение с степенями свободы, где и - параметры ARMA модели, оцененные ранее.

Информационные критерии

В ситуации, когда несколько ARMA моделей оказались адекватными данным, при выборе модели можно опираться на значения информационных критериев. Наиболее часто в распечатках компьютерных программ приводятся критерии AIC и SIC:

Акаике – AIC (Akaike information criterion) (8)

Шварца – SIC (Scharz information criterion) (9)

(хотя используются и другие).

Модели выбираются по минимальным значениям информационных критериев (принцип экономии мышления: чем меньше параметров в модели, тем лучше; модель ARMA с небольшими p и q предпочтительнее моделей AR или MA, с большими порядками и, как правило, не хуже описывает данные).

Критерий Акаике это эвристическая попытка свести вместе 2 требования – уменьшение числа параметров и качество подгонки модели. Он базируется на обобщении принципа максимального правдоподобия в предположении о гауссовском распределении ошибок. AIC переоценивает порядок авторегрессии для AR модели, то есть оценка не состоятельна!!!

Критерий Шварца имеет более фундаментальное основание. Оценка порядка модели здесь является состоятельной.

Критерии AIC и SIC нередко противоречат друг другу. Поэтому при исследованиях обычно указывают на то, какой из критериев использовался.

Замечание: С другой стороны вместо выбора одной модели можно сформировать портфель моделей, включающий несколько моделей одинаковых по характеристикам. Этот портфель можно использовать для прогнозирования и описания взаимосвязей между переменными.

Критерий для выбора моделей заключается в следующем (Poskitt and Tremayne, 1987)

,

где параметры характеризуют наилучшую модель по критерию AIC. Для всех остальных моделей с параметрами рассчитывается величина - мера близости. В портфель можно включать те модели, у которых .

Статистика

Пусть ошибки в модели имеют следующий вид: где .

Проверяется гипотеза

(отсутствие корреляции)

( ).

Статистика Дарбина - Уотсона проверяет наличие автокорреляции 1 – го порядка!!!

(10)

Дарбин и Уотсон (1951) доказали, что для этой статистики существуют две границы и (u=upper, l=low), которые зависят от и уровня значимости (могут быть затабулированы) такие, что

Значение	Вывод
	отвергается в пользу альтернативы (есть отриц. корреляция) Неопределенность не отвергается (корреляции нет). Как правило, Неопределенность отвергается в пользу (есть положит. корреляция)

Зона неопределенности в тесте Дарбина - Уотсона может быть достаточно широкой. Например, для n=19 k=3 получаем интервал (0.97, 1.68).

!

Тест Дарбина - Уотсона предполагает, что регрессоры не коррелированны с ошибками. Поэтому этот тест нельзя применять, когда среди регрессоров есть лагированные значения зависимой переменной , так как его результаты смещены в сторону принятия . Т.е. для временных рядов этот тест не применим!!!

Пусть оцениваемая модель имеет вид

В этом случае можно использовать либо тест множителей Лагранжа (общий случай), либо - тест Дарбина для проверки на автокорреляцию первого порядка.

Тест множителей Лагранжа:

Пусть – остатки из модели.

Оценим вспомогательную регрессию

,

и найдем величину . Статистика имеет асимптотически - распределение с степенями свободы.

статистика (автокорреляция 1 порядка: ):

, (11)

где – статистика Дарбина-Уотсона. При верной нулевой гипотезе (нет автокорреляции), статистика теста имеет асимптотически стандартное нормальное распределение.

«Нормальность»

Проверка остатков может производиться с помощью стандартных визуальных методов – построения гистограммы. Кроме того. пакет Eviews сообщает значения статистики Ярку - Бера

, (12)

где – коэффициент ассиметрии, – коэффициент эксцесса, – число параметров в уравнении регрессии.

При верной гипотезе (нормальность) статистика теста имеет асимптотически!!! - распределение с двумя степенями свободы.

!

Так как распределение асимптотическое нельзя полагаться на результаты только этого теста для выборок малого объема

Оценивание ARMA моделей

Для оценки коэффициентов AR(p) модели

можно применить обычный МНК. Поскольку регрессоры _p относятся к предыдущим моментам времени (фиксированы), - белый шум и . МНК-оценки в этом случае будут смещенными, но состоятельными, несмотря на присутствие стохастического регрессора. Если же имеют нормальное распределение, то МНК оценки также будут асимптотически нормальными.

Для моделей MA(q) и ARMA(p, q) невозможно аналитически выразить остаточную сумму

квадратов через и параметры модели. Поэтому МНК для оценки таких моделей применять нельзя. Существует несколько процедур работы с подобными моделями, в том числе МНП, нелинейный МНК, поиск на сетке и пр.