• Искомый объем продукции первого вида

• объём продукции второго вида

Цель максимум прибыли.

1 руб.* X1 – прибыль от реализации 1 вида продукции

2 руб.* X2 - прибыль от реализации 2 вида продукции

Целевая функция

Обозначим в целевой функции коэффициенты при переменных через С1 и С2, тогда целевая функция будет иметь вид:

В ведем систему ограничений, которая характеризует использование оборудования. Планирование использования машин по цехам не должен превышать наличие этого оборудования по цеху А (из таблицы).

- Ограничение первое по цеху А

- Ограничение второе по цеху Б

• Ограничение третье по цеху В

- Общие ограничения

Решение задачи возможно двумя методами графоаналитическим и симплексным.

2 . Представим решение задачи графоаналитическим методом. С этой целью используем изложенные выше правила и построим координатную плоскость.

9

8 (1)

7

6

5

4 А В (3)

3

2 С

1 (2)

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Д 12 13 14 15 16

Фигура получилась от пересечения линейных форм. Многоугольник определяет ОДР, с целью нахождения вершины (значения наилучшей альтернативы). Введем дополнительный уровень, произвольно, находящийся в ОДР.

К графическому методу решения задачи выбора из совокупности альтернатив наилучшей, всегда можно свести к решению двухмерной задачи графическим способом.

А налитический способ нахождения координаты точки С., используется при отсутствии необходимости графического представления оптимального решения. В этом способе система уравнений (применимо к ранее формулированной задачи) будет иметь вид:

Поставим полученные решения в уравнение 2, имеем

получим:

X2=2

9+3Х2 = 15

Задача оптимизации доходов.

Завод изготавливает детали для автомобиля. Выпуск второго типа деталей (X1,X2). Завод располагает фондом рабочего времени 4000 ч/ч в неделю. Для производства одной детали типа X1 требуется 1 ч/ч, и для X2 2ч/ч. Производственная мощность завода позволяет выпускать X=2250 и X=1550 деталей в неделю. Каждая деталь типа X2 требуют 2 кг металлических стержней, и 5 кг листового метала. Для производства X1 (1 деталь) необходимо 5 кг стержней и 2 кг листового металла. Уровень запаса каждого вида металла составляет 10000кг. Ежедневно завод поставляет 600 деталей 1 вида своему заказчику. Существует также профсоюзное соглашение в соответствие, с которым общее число производимых в неделю деталей составляет не менее 1500штук.

Требуется определить сколько деталей каждого типа нужно производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход за неделю X1=30 у.е., X2=40 у.е.?

Критерий максимум доход, целевая функция имеет вид:

Ф

- План производства 1 детали (объем производства)

- План производства 2 детали

ормализация задачи: пусть переменная

Т огда целевая функция будет иметь вид:

в ведем ограничения:

1. ограничение по фонду рабочего времени, планированное рабочее время не должно иметь ограничение

2. по производственной мощности

3. по уровню запасов, планированное использование материалов каждого вида не должно превышать 10000 кг

4. по обязательствам поставки первых деталей

5. по профсоюзному ограничению

6. условие не отрицательности

Решение:

С троим систему координат, при фиксированном времени.

7

6

5

4

(2)

3

2 С д

1 Д

1 2 3 4 5 6 7 8

Построение областей ограничения

Строим целевую функцию (произвольно)

Оптимальная точка определения плана производства достигается максимальным доходом.

Это точка Д (1500, 1250)

Аналитический способ:

Резюме

Рассмотренный выше задачи оптимизации планирования производства по критерию максимум прибыли и дохода, при решения графическим или аналитическим методом, в случаи небольшой размерности переменных наглядны и точны в своих решениях.

Лекция10. Линейное программирование и симплексный метод выбора

наилучших решений в задачах планирования производства.

Классическая постановка задачи линейного программирования.

Дано: система математически- линейных зависимых уравнений с неизвестными

н азываемая система ограничений задачи линейного программирования, имеющая вид:

г

10.1

де

т

10.2

ребуется найти неотрицательное значение перемен ой Х, которое удовлетворяет условно минимум или максимум целевой функции:

э то выражение 9.2 принято называть линейной формой, которая часто отображается в виде:

10.3

в ыражение 10.1 – 10.3 можно отобразить в более компактной форме, в виде матрицы, тогда линейная форма будет иметь вид:

AX=B 10.4

L=CX 10.5

При B>0, X>0, L—max(min)

Выражение 10.4 матрица А имеет размерность n*m, x*c

Матрица В - m - мерный вектор столбец

Матрица Х - n - мерная вектор строка

Матрица С – n - мерная вектор строка

Если из n вычисть m и полученное значение с этим индексом, предположить их равным 0, то мы получим базисное решение. Базисное решение в линейном программировании называется допустимым, если базисные переменные не отрицательны по значению.

Решением системы уравнения 10.4 в условиях полной информатизации может быть получена различными способами. Наиболее простым способом 9.1-9.4 является симплексный метод. Основой всех методов получения решения уравнения ЛП в том числе и симплексный, является итерационный процедуры. Основной итерационной процедуры является введение наряду с базисными переменными независимых и ограниченных переменных (свободных). Из которых в условиях ограничения получаются отправные решения доставляющие целевой функции начальные значения, затем путем замены свободных переменных на базисные, составляются улучшенные значения целевой функции.

Если целевая функция L(x) стремится к max в задачи максимизации, то в ее индексной строке не должно быть не одного отрицательного числа и в этом случаи значение L(x) будет оптимальным, т.е. иметь максимум.

Если L(x) стремится к min , т.е. решается задача минимизации, то в ее индексной строке не должны быть положительные числа именно это значение будет оптимальным.

Рассмотрим изложенное выше положение на примере решения задачи №1, в лекции 8,

в которой имеет место следущая формализованная запись в канонической форме:

10.6

Для решения уравнения 9.6 симплексным методом необходимо перевести целевую функцию:

Д

10.7

ля решения введем дополнительные переменные в каждое уравнение соответственно, тогда система 9.6 будет иметь вид:

все переменные должны быть введены и в целевую функцию, тогда

В

- сколько станков будет использоваться в цехах

выражении 9.7 переменная X имеет физический смысл не используемых станков в цехе А, а выражение

- А, - В, -С

Д ополнительные переменные прибыли не дают, поэтому в целевой функции они будут равны нулю, с учетом этого целевая функция будет иметь вид:

К аждая из дополнительных или базисных переменных входит только в одно уравнение. Все они входят с коэффициентом +1. Свободные переменные на первом итерационном шаге приравниваются к нулю:

Для получения второго решения в симплексном методе составляется отправная таблица, имеющая вид:

С/б	Х/б	В	1	2	0	0	0
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	X3	24	2	3	1	0	0
0	X4	15	1	3	0	1	0
0	X5	8	0	2	0	0	1
Zj-Cj		Z0=0	-1	-2	0	0	0

Примечание: здесь и далее элипс – обозначает генеральный элемент

В отправной таблице введены следующие обозначения:

С/б - коэффициенты при базисных переменных целевой функции

Х/Б – базисные переменные

В – столбец свободных членов

Определяется как сумма по парных произведений коэффициентов С/б на столбец В

- Коэффициент целевой функции при переменных