Лекция 8. Экономико-математические модели и методы принятия решений.

Экономико-математические методы моделирования используются как правило в случае возникновения необходимости перераспределения капитала, трудовых ресурсов и средств производства. Процесс перераспределения описывается производственной функцией.

Производственная функция – это функция связывающая в своих отношениях используемые ресурсы и объемы выпускаемой продукции, имеющей вид:

F(y,x,a)=0 8.1

где y=(y1,y2,…,yi,…,ym) – вектор строка совокупности показателей выпуска продукции;

х=(х1,х2,…,хj,…,хn) – вектор строка совокупности ресурсов;

а=(а1,а2,…,ак,…,ар) – вектор параметров характеризующих связь x и y.

При этом i=(1,m), j=(1,n), k=(1,p) индексы при соответствующих переменных.

Моделирование в экономике – это единственный практический способ на экономике страны, отрасли, крупного предприятия, фабрики, завода и т.п., за несколько дней (в худшем случае недель) получить ответ как надо действовать, чтобы придать стране, отрасли, предприятию быстрое развитие или желаемое состояние на этапе этого развития.

Существует много методов экономико-математического моделирования как в условиях полной информации об управляемых объектах и в условиях неопределенности информации, случайных факторов, действующих на объект и риска.

Экономико-математическая модель Канторовича.

В матричной форме записи имеет вид: Y=AX+B 8.2

где Y – вектор-столбец объемов производства;

X – вектор-столбец затрат;

A – матрица размером mxn управляемых коэффициентов;

B – вектор-столбец внешних природных, случайных воздействий.

Особенности:

1. позволяет изучать процессы потребления;

2. строить изоклины;

3. моделирует воздействие рынка.

Модель Леонтьева.

Y=(AX+B)K 8.3

где Y – объем производства;

X – трудовые ресурсы;

K – капитал.

Особенность: модель позволяет решать задачи распределения ресурсов.

Модель Кобба-Дугласа.

Модель, в основе которой лежит производственная функция, имеющая вид:

a b

Y=A * K * X a>0, b>0 8.4

где A – матрица коэффициентов пропорциональности размерностью mxn;

K – матрица-столбец капитала;

X – вектор-столбец трудовых ресурсов;

a,b - параметры, выбираемые в условиях ограничений.

Этап модель представляется показательной функцией, носит принципиально не линейный характер, отражающий не линейные связи.эта не линейная функция (7.4) может быть линеаризирована путем логарифмирования и тогда она будет иметь вид:

Ln y = ln a + a*ln k + b*ln x 8.5

Выражение (7.5) всегда будет иметь участок, близкий к линейному, который дает неизменный эффект масштаба, при котором a+b=1.

Модель К-Д нашла широчайшее применение при решении экономических задач в современных условиях. Особенностью этой модели является ее простота представления, т.к. имеют место однозначные решения при условии отсутствия воздействия случайных сил, внешних на параметры a и b. Решения, получаемые в результате моделирования, оцениваются по параметрам a, a, b методом линейной регрессии, как правило, по критерию наименьших квадратов.

Последние годы начали использовать модифицированные экономико-математическую модель К-Д имеющую вид:

a (1-a) lt

Y= A * K * X * e (8.6)

где l - темп роста (техн. прогресса) качественного показателя товара во времени.

Все 3 модели имеют компьютерное выражение в виде программ, обеспечивающих ЛПР качественными оценками.

Методы экономико-математического моделирования в условиях полной информации об управляемом объекте подразделяются:

1. метод линейной регрессии;

2. графоаналитический метод;

3. методы линейного програмирования:

• симплексный метод;

• метод обратной матрицы;

4. методы не линейного программирования;

5. методы динамического программирования.

Рассмотрим метод линейной регрессии.

Используется в случае необходимости отыскания коэффициентов нелинейной производ. функции (типа К-Д) и часто для выбора функции потребления. Регрессионное уравнение имеет вид:

Y= a + bх + U (8.7)

Выражение 8.7 - это линейная регрессионная модель, в которой:

х – объясняющая (независимая) переменная;

Y – объясняющая (зависимая) переменная;

U – остаток (ошибка), равный разнице между фактическим значением и значением модели; случайная независимая переменная;

a, b - параметры, требующие определения на условиях ограничения.

Система уравнений 8.7 называется системой нормальных уравнений, решение которых относительно a и b, имеют вид:

_ _

å (хi – х )(yi – y)

b = ----------------------

å(x – x) 2 i=(1,р) (8.8)

_ _

a = у - bх (8.9)

_

где х = хi/р – арифметическое среднее; _

у = уi/р – среднее значение переменных.

Точку на прямой регрессии, полученную по МНК, которая соответствует фактическому значению объясняющей переменой xi называется, рассчетным или теоритическим значением yi, соответствующим xi и имеющему вид:

~

yi = a + bxi (8.10)

Разность фактического и рассчетного значения Ui

~

Ui = yi – yi (8.11)

есть остаток – расчетное значение случайной ошибки, не подлежащей наблюдению, полученной по МНК.

Примечание. РУР в этом случае называют систему методов оценки параметров коэффициентов a и b на основе имеющихся наблюдений x и y.

МНК называют процедуру выбора таких значений параметров a и b, которые при подстановке р-пар значений переменных в выражение 8.7 минимизируют сумму регрессионных остатков имеющих вид:

p 2 p 2

S = å Ui = å [ yi – ( a + bxi) ] Þ min (8.12)

i=1 i=1

Дифференцируя S в (8.12) по a и b и положив значения частных коэффициентов равными 0, получим систему уравнений:

¶ S p

= -2 å ( yi – a - bxi) = 0

¶a i=1 (8.13)

¶S p

= - 2 å xi ( yi – a - bxi) =0

¶b i=1

Степень приближения к экстремуму (адекватность регрессионной модели к реальному объекту) характеризуется коэффициентом детерминации.

2 p _ 2 p _ 2

R = å ( yi – yi ) / å ( yi – yi ) (8.14)

i=1 i=1

Положительное значение корня из коэффициента детерминации (8.14) называется коэффициентом корреляции.

Лекция 9. Графоаналитические методы ЛПР по выбору наилучшей альтернативы.

В основу метода положены возможность графического отображения системы линейного уравнения в виде пересекающихся прямых, образующих область допустимых решений (ОДР). Эта область формируется на основе введенных ограничений, имеющих место в реальных задачах.

Особенностью графоаналитического метода является выбор альтернатив от пересечения прямых на координатной плоскости, будет иметь место всегда многоугольник, отображающий своей внутренней частью ОДР. Одна из вершин многоугольника будет всегда наилучшей по назначенному критерию.

Отыскание наилучшей альтернативы, отображенной в вершине многоугольника, производится путем введения произвольного управления пересекающей ОДР к которому необходимо построить вспомогательный перпендикуляр и направление этого перпендикуляра Вам укажет на вершину многоугольника из ОДР, являющейся оптимальной.

Возможно выбрать вершину многоугольника аналитическим решением системы управления и по этому решению на координатной плоскости найти оптимальную вершину ОДР. Изложенные правила в графоаналитическом методе позволяют решать задачу выбора ЛПР наилучшей альтернативы из их модельного ряда при размерности этих задач не выше трех.

Примечание.

Основным исходным фактором графоаналитического метода, дающим обозримый (простой) ответ о наилучшей альтернативе, является двухмерность задач.

Пример задачи.

Дано: предприятие, которое производит 2 вида продукции в 3 цехах: А, Б, В, в каждом из цехов установлено соответственно 24, 15, 8 ед. оборудования. Нормы использования оборудования за 1 час/ед. продукции представлена в таблице

Цех	Вид продукции
	1 вид	2 вид
А	2 м/ч	3 м/ч
Б	1 м/ч	3 м/ч
В	-	2 м/ч

Прибыль от 1 вида продукции 1 рубль, 2 вида – 2 рубля.

Требуется определить объем выпуска продукции 1 и 2 вида, приносящий максимум прибыли?

Составление модели:

Ф ормализация описательной части задачи.

Пусть