4.4.2. Моделирование нормального распределения

Нормальное распределение – одно из важнейших непрерывных распределений. Существует несколько методов его получения, основанных на использовании равномерного распределения случайных чисел.

Так например, согласно центральной предельной теореме в теории вероятностей сумма независимых случайных чисел ε_i с произвольными законами распределения и мало отличающимися дисперсиями образуют последовательность γ c законом распределения, стремящимся к нормальному при n→∞_. В качестве ε_i при моделировании и используют равномерно распределенные величины по интервалу [0,1], которые уже при n≥8 дают хороший результат, приближенный к нормальному закону. При этом математическое ожидание М[γ]=n/2, а дисперсия D[γ]= n/12.

Для нормировки, т.е. чтобы получить М[γ]=0, а D[γ]=1 используют

выражение , где – случайные числа, равномерно распределенные на [0,1]. Очевидно, что при n=12 выражение значительно упрощается: .

Другим методом получения нормального распределения случайных чисел является метод полярных координат: , _. Числа γ_n и γ_n+1 вычисляются с использованием пары чисел , с равномерным распределением на интервале . Получающаяся последовательность является нормированной, т. е , . Метод полярных координат более точен, однако требуется больше затрат машинного времени, поскольку вычисляются логарифмы, синусы и косинусы.

4.4.3. Моделирование дискретного распределения

Если требуется получить ряд дискретных случайных величин ε₁, ε₂, ε₃ … ε_n, с вероятностями , то интервал [0,1] делят на отрезков _δi с длиной (при этом ). Для каждого исходного равномерного распределенного случайного числа 𝜁i определяют интервал δi, в который оно попадает и, тем самым, определяют событие, которое произойдет, т.е. εi .

Таким образом, условие для получения дискретного распределения следующее:

.

Простейший пример:

Моделируем случайное событие с вероятностью . Интервал [0,1] делим на два участка: p и (1-p). Генерируем равномерно распределенную последовательность чисел и определяем их попадание на данные участки. Если попадание на участке , то событие произошло, следовательно, фиксируем лог.1. Если попадание на участке (1- ), то событие не произошло, следовательно, фиксируем лог.0.

Рис.4.14. Простейший пример моделирования дискретного распределения

4.4.4. Моделирование произвольного распределения Метод обратной функции

Для моделирования случайных величин с произвольным законом распределения используется, так называемый, метод обратной функции, основанный на теореме из теории вероятностей, которая гласит, что если случайная величина имеет плотность распределения вероятности , то случайная величина распределена равномерно в интервале [0,1] независимо от вида . Таким образом, алгоритм моделирования произвольного распределения заключается в следующем.

1. Моделируется равномерное распределение случайной величины из интервала [0,1].

2. По выражению подбирают величину с требуемым произвольным распределением , как функцию, обратную .

Рис.4.15. Иллюстрация к моделированию произвольного распределения

На практике обратную функцию в отдельных случаях найти затруднительно, а то и вовсе невозможно. В этих случаях используют метод Неймана.