2.5. Математическая модель рэа

Математической моделью (ММ) какого-либо объекта называется любое формализованное (записанное с использованием математических, т.е. условных однозначно трактуемых символов) описание, отражающее состояние или поведение объекта с требуемой степенью точности. Таким образом, математическая модель – это совокупность математических элементов (чисел, переменных, векторов, множеств и т.п.) и отношений между ними, которые с требуемой точностью описывают свойства объекта проектирования.

Автоматизированное проектирование на ЭВМ требует математического описания объекта в виде, пригодном для алгоритмической реализации. Обычно на каждом этапе автоматизированного проектирования используется свое математическое описание объекта. Сложность математического описания соответствует возможностям ЭВМ. Обычно для одного объекта используется несколько моделей различного уровня сложности.

2.5.1. Параметры математической модели

При автоматизированном проектировании и моделировании различают внутренние, внешние, выходные параметры модели, а также, так называемые, фазовые переменные.

1) Внутренние параметры – определяются характеристиками элементов объекта. Пусть: W=|w₁,w₂,…w_n| - вектор внутренних параметров, где w_i – параметры элементов объекта, n – число элементов.

2) Внешние параметры – определяются внешними воздействиями на объект. Пусть Q=|q₁,q₂,…q_m| - вектор внешних параметров, где q_i – параметр i-го внешнего воздействия, m – число внешних параметров.

3) Выходные параметры – определяют выходные характеристики объекта, которые необходимо обеспечить для выполнения требований ТЗ. Пусть F=|f₁,f₂,…f_k| - вектор выходных параметров, f_i – выходные параметры, k – число выходных параметров.

4) Фазовые переменные – это физические параметры, характеризующие объект, но не являющиеся внутренними или выходными параметрами моделей. Например, выходной параметр – коэффициент передачи К=f(U_вых,U_вх), внутренние параметры – номиналы элементов. В этом случае U_вых,U_вх – фазовые переменные, связанные функциональной зависимостью с номиналами элементов (внутренними параметрами). Тогда выходные параметры F представляются операторами от векторов U,W,Q и могут быть определены из решения системы уравнений математической модели РЭА.

Таким образом, любая математическая модель РЭА в общем виде может быть представлена в виде следующих систем уравнений:

(1) φ=|U,W,Q|=0

(2) F=Ψ(U), где φ и Ψ – операторы, определяющие вид систем уравнений модели.

Система уравнений (1) может быть системой линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений различного вида, дифференциальных уравнений в полных или частных производных и представляет собой собственно математическую модель проектируемого объекта.

Система уравнений (2) определяет зависимость выходных параметров от фазовых переменных.

В частных случаях составляющие U могут быть внутренними или выходными параметрами объекта и тогда система значительно упрощается.

Таким образом, зная внутренние W и внешние Q параметры, из первой системы уравнений можно найти фазовые переменные U, для которых известна вторая система уравнений, связывающая U с искомыми выходными параметрами F.

Решение уравнений (1) и отыскание вектора F по уравнению (2) называется анализом математической модели.

Различают ММ проектируемого объекта (ММО) и ММ его элементов (компонентов) – ММК.

ММ элементов аналогичным образом устанавливает связь между фазовыми переменными и внутренними и внешними параметрами для данного элемента и представляет собой также систему уравнений. Эти уравнения называют компонентными, а ММ – компонентной.

Если ММО представляет объединение компонентов, то ее можно получить на основе ММК, входящих в объект. Объединение осуществляется на основе фундаментальных физических законов (например, Кирхгофа). Уравнения, описывающие эти законы, называются топологическими. Они отражают взаимосвязи между компонентами. Их совокупность и образует ММО.