Разработка математической дискретной модели объекта.

Математическая модель объекта или системы управления – это совокупность математических уравнений отражающих взаимосвязь выходных и входных величин, дополненная ограничениями, накладываемыми на эти величины условиями их физической реализации и эксплуатации. Математическая модель может как вскрывать, так и не вскрывать сущность протекающих в объекте процессов или явлений. Полная математическая модель включает в себя статическую и динамическую. Статическая модель – это описание связей между входами и выходами в установившемся равновесном состоянии без учета времени. Динамическая модель – это описание связей между входами и выходами в переходном процессе, неустановившемся режиме с учетом времени, т.е. когда объект переходит из одного установившегося состояния в другое.

Различают два вида математических моделей:

• детерминированная

• стохастическая

Детерминированные модели позволяют однозначно рассчитать значение выхода при известном входе.

Стохастические модели – это модели, в которых отсутствует четкое соответствие между значениями входов и выходов, взаимосвязь между ними описывается случайными функциями времени, определяющими вероятность того или иного значения выхода при известном значении входа в данный момент входа.

При построении математических моделей используется два подхода:

• детерминированный подход

• экспериментально-статистический подход

Детерминированный подход заключается в составлении математического описания объекта, при котором находят уравнение статики и динамики на основе теоретического анализа физических и химических процессов, протекающих в исследуемом объекте. При выводе уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, а также различные кинетические закономерности, законы переноса тепла и массы и т.д. Достоинства подхода является наименьшая затратность математических и энергетических ресурсов. Недостаток заключается в том, что этот подход сопряжен с трудностью решения и анализа составляемых уравнений и требует проведения специальных исследований для определения численных значений коэффициентов полученных уравнений.

Рассмотрим пример использования детерминированного подхода при моделировании и исследовании электрической RC-цепочки, при подаче на ее вход постоянного напряжения.

Используя:

1. II закон Кирхгоффа;

2. закон Ома;

3. закон изменения величины тока в конденсаторе,-

промоделируем работу RC-цепочки.

Обозначим равным Т, тогда

Общее решение дифференциального уравнения I порядка будет иметь вид:

Начальные условия:

Частное решение:

Второй подход состоит в определении характеристик реального объекта путем постановки на нем специального эксперимента. Метод прост, обладает малой трудоемкостью, позволяет точно определить свойства объекта. Вместе с тем, он требует оснащения изучаемого объекта специальным экспериментальным оборудованием и проведение специальных исследований, т.е. является более затратным в материальном плане.