Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Казанский Государственный Технический Университет

им. А.Н. Туполева

_____________________________________________________________

Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники

задания и методические указания по расчету цепей гармонического тока

(методические указания для студентов-заочников)

Авторсоставитель: Погодин Д.В.,

Казань - 2010 г.

4.1. Основные понятия и определения

Синусоидальными сигналами или воздействиями называются переменные напряжения и токи источников, которые аналитически можно записать с помощью синусоидальной функции в синусной или косинусной форме:

,

.

Рис. 4.1. Временная диаграмма синусоидального напряжения

Рис. 4.2. Напряжение u1 опережает напряжение u2

Как правило, в теории электрических цепей синусоидальные функции напряжений и токов записывают в косинусной форме, поскольку косинус функция четная и с ней проще оперировать. В записанных выражениях U_m и I_{m } амплитудные значения напряжения и тока,  фаза колебаний,  угловая частота или скорость изменения фазы (измеряется в радианах в секунду), и  начальные фазы колебаний (измеряются, как правило, в пределах от до ).  циклическая частота, измеряется в герцах. Временная диаграмма (график) переменного синусоидального напряжения представлена на рис. 4.1.

При наличии двух или нескольких сигналов между ними может существовать сдвиг фаз . Если угол , то напряжение опережает на угол , как это показано на рис. 4.2.

Рис. 4.3. Напряжения совпадают по фазе

Рис. 4.4. Напряжения находятся в противофазе

Рис. 4.5. Напряжения находятся в квадратуре

 Если угол , то два напряжения совпадают по фазе (рис. 4.3).

Если угол , то говорят, что напряжения находятся в противофазе (рис.4.4).

Если угол , то напряжения находятся в квадратуре (рис. 4.5).

В большинстве случаев оказывается неудобным пользоваться амплитудным, а тем более мгновенным значением тока или напряжения, поэтому наиболее часто используется действующее значение тока I, в основу определения которого положено тепловое действие тока.

Под действующим или среднеквадратичным значением переменного периодического тока I, (напряжения U или ЭДС E) понимают величину которая рассчитывается следующим образоом

Это соотношение характеризует среднее за период значение мощности, выделение теплоты в цепи с сопротивлением r

т.е. действующее значение переменного периодическго тока равно такому постоянному току, который, проходя через сопротивление r, за период Т выделяет то же количество тепла, что и данный переменный ток i.

Так при синусоидальном токе :

.

Среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю, поэтому говорят о среднем значении за положительный полупериод:

Среднее значение тока меньше действующего.

4.2. Законы Кирхгофа и Ома в комплексной форме

Для синусоидальных сигналов законы Кирхгофа и Ома удобно записывать в комплексной форме.

При комплексном представлении гармоническое колебание как функция времени заменяется комплексной амплитудой, т.е. комплексным числом, не зависящим от времени. Это делается для упрощения записи и выполнения операций над гармоническими функциями.

Вспомним комплексные числа. Z – комплексное число. Его можно записать в одной из трех форм: алгебраической, показательной и тригонометрической.

Z = a + jb = ,

где a = Re [Z] = A cos ; b = Im[Z] = A sin.

R e – реальная часть, Im – мнимая часть комплексного числа. На рис. 4.6 показано геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости.

А – mod[Z] – модуль комплексного числа Z, или А = (а²+b²)^1/2 – длины векторов комплексного числа.

φ = arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ = arctg(b/a) – начальная фаза.

Выражение А_me^j(ωt+φ) называют комплексом гармонической функции. Тогда, учитывая, что Аcosφ = Re{Ae^jφ}, можно записать

.

К омплексную величину называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е^jωt – множителем вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени при известной частоте ω связаны взаимнооднозначно, т.е.

.

Пример 1. Например, гармоническому колебанию u(t) = 256 cos(2π100t – 45) соответствует комплексная амплитуда _m = 256 e^–j45.

Справедливо и обратное. Если известна комплексная амплитуда гармонического сигнала _m = 256 e^–j45 и частота ω=2π100, то этому соответствует гармоническое колебание u(t) = 256 cos(2π100t – 45).

Геометрически комплексная амплитуда представляет собой вектор, характеризуемый модулем и фазой, равными, соответственно, амплитуде и начальной фазе гармонической функции, как это показано на рис. 4.7,

Рис. 4.7. Комплексная амплитуда напряжения

 оператор вращения, представляющий собой единичный вектор, умножение на который комплексной амплитуды напряжения означает вращение вектора комплексной амплитуды против часовой стрелки с угловой частотой .

Законы токов и напряжений Кирхгофа можно записать как для мгновенных значений токов и напряжений, так и для комплексных амплитуд этих токов и напряжений:

,  закон токов Кирхгофа в комплексной форме для комплексных амплитуд и действующих значений в комплексной форме,

,  закон напряжений Кирхгофа в комплексной форме.

Пример 2. Рассмотрим пример использования законов Кирхгофа в комплексной форме. Пусть имеется узел в цепи, к которому подключены четыре ветви, как это показано на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Узел цепи

В первых трех ветвях ток направлен к узлу, а в четвертой он направлен от узла. Все токи синусоидальные и параметры трех из них известны:

; ;

Требуется определить четвертый ток.

Для решения этой задачи необходимо все токи перевести в комплексную форму, т. е. нужно записать их комплексные амплитуды:

, , .

Затем необходимо воспользоваться законом токов Кирхгофа в комплексной форме для комплексных амплитуд токов:

.

И, наконец, по найденной комплексной амплитуде четвертого тока можно записать его временную функцию:

.

Эту задачу можно решить графически с помощью векторной диаграммы, которая представляет собой картину расположения векторов токов и напряжений на комплексной плоскости. Для этого, как показано на рис. 4.9, на комплексной плоскости нужно отложить три вектора комплексных амплитуды известных токов, а вектор комплексной амплитуды можно построить путем суммирования векторов комплексных амплитуд известных токов на основе закона токов Кирхгофа.

Рис. 4.9. Векторная диаграмма

Пример 3. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура ( рис.3.4,а) u₁= 10 Sin( 100t-45^o) B, u₂= 25 Sin( 100t+30^o)B, u₃= 5 Sin( 100t+60^o)B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.

Решение. На основании второго закона Кирхгофа для мгновен ных значений напряжений и ЭДС находим e= u₁+ u₂+ u₃.

Переходя к комплексам, получим , где

.

Следовательно,

=

10Cos45^o-j10Sin45^o+25Cos30^o+j25Sin30^o +5Cos60^o + j5Sin60^o =

=30.75+j9.75= = 32.3e^j18в.

Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б ) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e= 32.3 Sin( 100t+18^o), В.

Комплексное сопротивление и комплексная проводимость

Закон Ома в комплексной форме связывает комплексы напряжения и тока:

, ,

.

 комплексное сопротивление двухполюсника. Комплексное сопротивление представляет собой комплексное число или вектор, который можно отложить на комплексной плоскости (рис.4.14).

Рис. 4.14. Комплексное сопротивление двухполюсника

- комплексная проводимость, величина, обратная комплексному сопротивлению:

Комплексные сопротивления и проводимости элементов складываются по тем же правилам, что и сопротивления и проводимости R-элементов. Например, в цепи рис. 4.15 комплексные сопротивления элементов в последовательном контуре суммируются, а напряжение источника, согласно закону Ома в комплексной форме, связано с током в контуре следующим выражением:

.

Рис. 4.15. Цепь с последовательным соединением элементов

Ток в контуре, соответственно, можно определить:

, где  общее или входное сопротивление контура.

Пример 4. Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40e^j30 Ом протекает синусоидальный ток  =3 Sin (314 t + 15^o) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухполюсника.

Решение. Находя комплексную амплитуду тока =3е ^j15 и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения

=3е ^j15 40e^j30=120 е ^j45 В.

Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (314 t + 45^o), B.