2.1.5 Дифференциальное уравнение конвективного

теплообмена

Вспомним основное уравнение переноса субстанций:

. (2.9)

Рассмотрим перенос теплоты в однофазной сплошной изотропной среде. Примем, что теплоемкость, теплопроводность и плотность постоянны, т.е. С_р= const, λ = const и ρ = const, а также что q_л = 0.

В случае переноса теплоты потенциалом переноса является удельная объемная энтальпия: φ = C_Pρt.

Плотность потока теплоты, вызванного стремлением системы к термодинамическому равновесию, определяется законом Фурье. Тогда основное уравнение переноса субстанций для случая переноса теплоты (при условии неразрывности потока несжимаемой жидкости, постоянства теплоемкости C_P и теплопроводности λ жидкости, а также при отсутствии источников теплоты, т. е. γ = 0) записывается так:

. (2.10)

Раскроем в уравнении (2.10) дивергенции скалярного произве­дения и grad t:

; (2.11)

. (2.12)

Запишем уравнение (2.10) с учетом уравнений (2.11) и (2.12):

(2.13)

или в развернутой форме:

. (2.14)

Это уравнение выражает в общем виде распределение темпера­тур в движущемся потоке. Его называют также дифференциальным уравнением конвективного переноса теплоты или теплопроводности в движущемся потоке или уравнением Фурье-Кирхгофа.

При установившемся процессе переноса теплоты dt/дτ = 0; тогда

. (2.15)

В неподвижной среде w_x=w_y=w_z=0, и уравнение (2.14) принимает вид

. (2.16)

Уравнение (2.16) описывает распределение температур в не­подвижной среде, через которую теплота передается теплопро­водностью. Его называют дифференциальным уравнением тепло­проводности в неподвижной среде или уравнением Фурье.

Отметим, что коэффициент температуропроводности а является физической величиной и характеризует теплоинерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

Чтобы получить полное математическое описание процесса уравнение (2.14) необходимо дополнить условиями на границе раздела потока и стенки аппарата. Выше был рассмотрен поток жидкости как двухслойная система, состоящая из пограничного теплового слоя толщиной _тепл и ядра потока, двигающегося в турбулентном режиме. В пограничном слое теплота от стенки аппарата распространяется теплопроводностью, которая описывается урав­нением (2.5). Это же количество теплоты передается ядру потока согласно закону Ньютона по уравнению (2.7). Приравняв выражения (2.5) и (2.7), получим уравнение, характеризующее условия на границе:

. (2.17)

Однако выражения (2.14) и (2.17) можно привести к расчетному виду только для простейших случаев. Поэтому обычно используют другой путь, заключающийся в том, что расчетные выражения получают из общих дифференциальных уравнений, применяя методы теории подобия, и приводят их к конкретному виду с помощью экспериментальных данных.